金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com函数的奇偶性一、教学背景分析1、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第一章第三节第二课《1.3.2奇偶性》。奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延伸,另一方面,学习性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备。而奇偶性是在学生学习了函数的有关概念和单调性的基础上，对函数知识进一步深入和拓广。2、学情分析：我所教学的学生是我校高一的学生，学生还处在适应期，大部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱，所以在授课时注重从具体的例子出发，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。二、教学目标1、知识与技能：（1）建立奇偶性的概念通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。（2）掌握函数奇偶性的判别方法。通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，进一步形成判断的方法步骤，从而能应用到例题中去。（3）函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用几何画板、实物投影仪等辅助教学，激发学生积极主动地参与教学活动。使学生学会数学思考，学会反思与感悟，形成良好的数学观。本节课,通过动手实践,观察图象创设问题情境引导学生概括出图象特点并抽象出奇偶性的概念；通过典型例子，学生探索质疑，加深对奇偶性概念实质的理解；接着就奇偶性概念的特点，概括出判断的方法步骤，最后通过例子练习加深巩固。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。3、情感态度与价值观：培养学生合作、交流的能力和团队精神；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，使学生感受到数学美，陶冶了情操。三、教学重点与难点重点：①形成奇偶性的形式化定义。②掌握函数奇偶性的判别方法。难点：形成奇偶性定义的过程中，如何从图象的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言表述。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com复习回顾课题引入研讨探究知识形成应用练习课堂小结布置作业四、教学过程教学基本流程：教学环节问题师生活动设计意图[来源:]创设情景引入新课请同学们填写下表并画出下列函数图象:(1)正比例函数f(x)=2x;x-3-2-10123f(x)(2)反比例函数;x-3-2-10123f(x)(3)一次函数f(x)=-2x+1;x-3-2-10123f(x)(4)二次函数f(x)=x2+1;x-3-2-10123f(x)(5)分段函数f(x)=|x|x-3-2-10123f(x)学生动手填表并画图(1)(2)(3)(4)[来源:](5)师：这些图形不仅显示了增减性，还显示了其他特征，尤其是有一种我们初中就学过的优美的对称性——中心对称和轴对称。今天我们就来研究这种性质。（板书课题）通过填表和作图,让学生获取函数性质的直观认识,从而引入新课.所列出的五个函数,恰好包括了函数奇偶性的三种类型:奇函数、偶函数、既不是奇函数也不是偶函数。（既奇又偶函数在后面另外讨论）探索研究1、观察（1）（2）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？2、再观察函数(1)(2)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？（可用几何画板演示图象的对称性）师：引导学生观察表格生：看表，并说出自已的看法。师：引导学生观察图象的对称性，导入新课生：观察图象左右两半的特征，并回答问题。（图象是关于原点对称的）第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com3、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？师：引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。生：尝试把几何特征跟代数特征联系起来。启发学生由图象的对称性,联系到函数值的变化,为进一步学习定义奠定基础.几何画板的使用，会使数与形的结合表现得更加自然。发现规律学生经过思考后，回答：学生1：（1）f(x)=2x时，f(-x)=2(-x)=-2x,有f(-x)=-f(x)学生2：（2）时，，有f(-x)=-f(x)图象是关于原点对称的进一步研究（3）学生3：(3)f(x)=-2x+1时，f(-x)=-2(-x)+1=2x+1.看不出f(-x)与f(x)有什么关系。图象也没有关于原点对称。师：象（1）（2）这样的函数，我们称它为奇函数；（3）不是奇函数指导学生从定性分析到定量分析几个函数的共性特点。从直观认识过渡到数学符号表述.继续探索研究4、观察（4）（5）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？5、再观察函数(4)(5)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？（可借助几何画板演示图象的对称性）6、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？师：引导学生观察表格生：看表，并说出自已的看法。师：引导学生观察图象的对称性，导入新课生：观察图象左右两半的特特征，并回答问题。（图象是关于y轴对称的）师：引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。生：尝试把几何特征跟代数特征联系起来。在前面的基础上进一步探讨偶函数的特征.发现规律学生4：（4）f(x)=x2+1时，f(-x)=(-x)2+1=x2+1,有f(-x)=f(x)学生5：（5）f(x)=|x|时，f(-x)=|-x|=|x|,有f(-x)=f(x)图象关于y轴对称。师：象（4）（5）这样的函数，我们称为偶函数。用数学符号表述图象特征.第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com定义引导学生归纳总结，教师补充，并根据学生回答进行板书。(1)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；奇函数图象关于原点对称。(2)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；偶函数图象关于y轴对称。从具体到一般引出奇偶函数的定义.让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com定义的理解师：函数奇偶性的定义，由两名话组成，一句描述自变量，一句描述函数值。各用了一个关键的字眼：“任意”（一个x）、“都有”（一个恒等式）。对这两个关键词一定都要真正理解，知道吗？学生（齐）：知道！师：这两句话中，哪一句对函数性质的刻划更实质？对我们掌握这个概念更重要？学生6：我想是第二句“都有f(-x)=-f(x)”与“都有f(-x)=f(x)”。师：对。为了判断一个函数是否有奇偶性，我们要去验证恒等式：f(-x)=±f(x)是否成立。反过来，若已知函数有奇偶性，便必有上述恒等式成立。现在，我们就根据这个标准来判别上述五个函数的奇偶性。学生7：（1）（2）是奇函数，（4）（5）为偶函数，（3）不知道奇偶性师：（3）这种函数f(-x)既不恒等于-f(x)，又不恒等于f(x),我们今后就称它为“既不是奇函数也不是偶函数”的函数。师：下面，我们来讨论一个更深入的问题。函数（6）：的奇偶性如何？（让学生分小组讨论后提问）[来源:]学生8：既不是奇函数也不是偶函数。师：为什么？学生8：因为与及的表达式都不一样。师：其它同学的意见呢？生9：是奇函数，因为。它就是我们上面说的第（1）个函数，所以是奇函数。师：好，我理解你的意思：因为函数（6）与函数（1）是同一个函数，而函数（1）是奇函数，所以函数（6）也是奇函数，是这样吗？学生9：是的。师：现在我们有两个意见，一个说既不是奇函数也不是偶函数，一个说奇函数，你们大家独立思考，畅所欲言。学生10：函数（6）与（1）不是同一函数，因为它们的定义域不尽相同。（1）的定义域为全体实数；（6）的定义域是{x|x≠-1}.但是，我不知道定义域的这一点微小变化是否影响函数的奇偶性。师：好，我们重新研究一下奇偶性的定义，想想，定义里奇偶函数对定义域有哪些要求呢？学生思考，讨论，交流，学生代表（举手）发言11：象函数f(x)=2x(x≠-1)中，当x=1时，f(-x)≠-f(x)，与定义中的“任意”一个x不相符，所以它不是奇函数，更不会是偶函数。师：由上面的讨论我们可以看到，虽然函数奇偶性定义中最本质的是恒等式，但这有一个前提，即f(x)与f(-x)同时有定义，也就是x与-x同时属于函数的定义域，由此，可以得出一个简单推论。（出示推论全文）推论：奇、偶函数的定义域在x轴上对应的点集关于原点对称。引导学生把握定义里的关键词，提高学生概括能力，学会抓重点。这个例子不仅强调了定义中的“定义域”，而且是对奇偶性概念进行反面理解。教法上以学生为主，通过学生的争论，教师的宏观指导，及时点拔，很自然地加深了对定义的理解。数学思维中最积极的成分是问题，不断地提出问题，解决问题。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com师：现在，我们继续讨论下一个问题。按照定义，有的函数为“奇函数”，有的函数为“偶函数”，还有的为“既不是奇函数也不是偶函数”，那么，有没有“既是奇函数又是偶函数”的函数呢？师：这是一个探索性的问题，我们可以先假设某一个函数具有这样的性质，然后推导，看看得出的是一个合理的结论还是一个矛盾的结论。我们一起来做。若f(x)为奇函数，应有f(-x)=-f(x)①若f(x)又是偶函数，又应有f(-x)=f(x)②两式同时成立，可解出f(x)≡0③反之，若函数f(x)≡0，且定义域关于原点对称，当然有f(-x)=0=-f(x),f(-x)=0=f(x)同时成立，按定义，f(x)既是奇函数又是偶函数。推论：若f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0,x∈I(I是关于原点对称区间。随着I的不一样，这样的函数有无数个。（利用几何画板画出一些图象来说明）使思维不断地升华。小结提高师：从上面分析，可以概括出两点：（1）奇偶函数的定义域必须关于原点对称；（2）判断函数的奇偶性，将有4种结论：是奇函数而不是偶函数；是偶函数而不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数。下面，我们就来学习函数奇偶性的判别方法。在这一教学过程中，教师通过设问、启发、引导、讨论，让学生参与了知识的发生过程，把握了概念的实质。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com应用巩固如何判断函数的奇偶性呢？教师概括出三个步骤：（1）求函数的定义域。目的在于确定定义域是否关于原点对称，若是，则进行后面步骤；若不对称，则可判定为“既不是奇函数也不是偶函数”（2）计算f(-x)（3）判断f(-x)=±f(x)是否成立，可按上述4种结论选择其一。在对实质认识的基础上，进一步提炼出程序性、操作性的方法。学生认识水平获得了提高。例1判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）第（1）题教师板书讲解。解：函数定义域为{x|x≠0,x∈R}∵f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x)∴f(x)是奇函数第（2）题请一名学生口述解答过程。（偶函数）第（3）（4）（5）题请三名同学上黑板析演。（既不是奇函数也不偶函数、既奇又偶、既不奇也不偶）解答略教师首先作出书写格式的示范，让学生有本可依。然后看看学生的板演，有针对性地作出修订与讲评。五道题的选择都是有针对性的。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com奇偶函数图象对称性的应用：例2已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。学生画图，请两位同学板演；教师巡视，指点学生作图。（教师可用几何画板演示另一半图象的形成过程）例2的设计主要是理解奇偶函数的图象特征，与课题引入中例子遥相呼应。例3（1）若f(x)为奇函数，且x=0时有定义，则f(0)的值为多少？（2）若函数为奇函数,求a的值.学生练习,讨论,学生口述,教师板演.（1）解：∵f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x)∴f(-0)=-f(0)∴2f(0)=0∴f(0)=0（2）解:∵f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x)∴(-x)3+(-x)+a=-(x3+x+a)∴2a=0∴a=0进一步加深对概念的理解，并能利用概念解决一些简单的问题。课堂练习:1、下列函数是偶函数的是：（）A．y=x2,x∈[-1,2]B．y=x2+x,x∈RC．y=2|x|-1,x∈RD．y=x32、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=|x+1|-|x-1|；（2）巩固课堂所学知识。课堂小结教师提出下列问题让学生思考：①通过奇偶函数概念的形成过程，你学习到了什么？②奇偶函数的图象有什么特点？如何根据图象画出另一半的图象？③怎样判别函数的奇偶性？师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自已的意见。学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com作业布置思考题：1、在公共定义域上，奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性如何？2、已知是f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？对于问题（2）可用几何画板展示函数f(x)=x3的图象，让学生去思考。作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。课后作业：1、课本P36练习1、22、课本P39习题1.3A组第六题B组第三题3、《高中数学教学与测试》必修1P13函数的简单性质——奇偶性五、教学评价：本节课以“教师为主导，学生为主体”为指导思想，充分考虑到学生的个性发展，通过引导学生以自主探究，讨论交流方式去获取新知。在形成奇偶性的形式化定义过程中，让学生参与到分组讨论，在讨论中解决问题，逐步突破本节难点。让所有学生都在数学学习中获得成功体验。同时从《课标》评价理念出发，鼓励学生发表自已的观点。充分质疑，树立自信心，充分培养学生观察、类比、分析、概括以及合作、交流能力。第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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