第2课时函数奇偶性的应用
类型一根据函数的奇偶性求函数解析式【典型例题】1.f(x)为R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=x(x-1)，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=______.2.已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝求f(x)，g(x).
【解题探究】1.对于题1，应如何设自变量x？2.题2中，如何应用“f(x)为偶函数，g(x)为奇函数”这一条件？探究提示：1.应“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.2.应用函数奇偶性，需出现f(-x)，g(-x)，故用-x代替原式中的x，列出方程组，解关于f(x)与g(x)的方程组.
【解析】1.当x∈(0,+∞)时，-x∈(-∞,0)，f(-x)=-x(-x-1).又f(x)为R上的奇函数，所以x∈(0,+∞)时，-f(x)=-x(-x-1)，即f(x)=-x(x+1).答案：-x(x+1)
2.由f(x)＋g(x)＝①把x换成-x，得f(-x)＋g(-x)＝∵f(x)为偶函数，∴f(-x)＝f(x).又∵g(x)为奇函数，∴g(-x)＝-g(x)，∴f(x)－g(x)＝②由①②得
【拓展提升】根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.(2)转化代入已知区间的解析式.(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
【变式训练】函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数，当x≥0时f(x)=x2-2x-3，求函数y=f(x)的解析式.【解题指南】设x＜0，则-x＞0，利用偶函数的定义，f(-x)=f(x)进行转化.【解析】令x＜0，则-x＞0,故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.又f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)=x2+2x-3，∴
类型二函数的奇偶性和单调性的综合应用【典型例题】1.若f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A.f(-2)＞f(0)＞f(1)B.f(-2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(-2)D.f(0)＞f(-2)＞f(1)2.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.
【解题探究】1.题1中如何将f(-2)转化为自变量在［0，+∞)上与之相等的函数值？2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题2的关键点是什么？
探究提示：1.利用函数的奇偶性，因为f(x)在R上是偶函数，所以f(-2)=f(2).2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是增函数，则相应对称区间上为减函数.解决本题的关键是去掉“f”，转化为具体不等式求解.
【解析】1.选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x)在［0，+∞)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(-2)＞f(1)＞f(0).2.由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减.∵2a2+a+1=2(a+)2+＞0，2a2-2a+3=2(a-)2+＞0，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＞2a2-2a+3，即3a-2＞0，解得a＞
【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？【解析】若f(x)为R上的奇函数，在区间(-∞，0)上递增，则f(x)在(0，+∞)上递增，又∵f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，∴2a2+a+1＜2a2-2a+3，即3a-2＜0，解得a＜
【拓展提升】1.函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x)在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相同的单调性.(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x)在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相反的单调性.
2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
【变式训练】若偶函数f(x)在区间［3，7］上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是()A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5【解析】选C.偶函数图象关于y轴对称，f(x)在区间［3，7］上是增函数，则在区间［-7，-3］上是减函数，且最大值为5.
【规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用【典例】【条件分析】
【规范解答】(1)令x1=x2=1①得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.………………………3分(2)令x1=x2=－1①,则f(-1)=0，………………………4分令x1=－1,x2=x①，∴f(－x)=f(x)，又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数.………………………7分
(3)∵f(4)=1,又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16),∴f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64),∴f(64)=f(4)+f(4)+f(4),∴f(64)=3.②………………………8分∴f(3x+1)+f(－6)≤3等价于f(-6(3x+1))≤3,
∴f(|-6(3x+1)|)≤f(64),∴……………………10分解得……………………12分
【失分警示】
【防范措施】1.赋值法的应用抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看f(-x)与f(x)的关系，关键是出现f(-x)与f(x)之后，不要出现多余变量.
2.偶函数的一个重要性质根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在区间(0，+∞)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同区间内的繁琐讨论，把f(-6(3x+1))写成f(|-6(3x+1)|)，避免对-6(3x+1)的符号讨论.
【类题试解】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+ax.(1)当a=-2时，求函数f(x)的解析式.(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，①求a的范围；②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0,在(0,+∞)上f(x)0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(+∞)上单调递减，不合题意.所以函数f(x)为单调减函数时，a的范围为a≤0.
②∵f(m-1)+f(m2+t)
1.若函数f(x)＝x3，x∈R，则函数y=f(-x)在其定义域上是()A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数【解析】选B.f(-x)=-x3为奇函数，设x1,x2∈R，且x1＜x2,则-x1＞-x2，f(-x1)-f(-x2)＝∴f(-x1)＞f(-x2)，f(-x)为减函数.
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2-2x，则f(x)在R上的表达式是()A.y=x(x-2)B.y=x(|x|+2)C.y=|x|(x-2)D.y=x(|x|-2)【解析】选D.由x≥0，f(x)＝x2-2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，-x＞0，f(x)＝-f(-x)＝-(x2+2x)，∴即f(x)＝x(|x|-2).
3.定义在R上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上是增函数，若f(a)＜f(b)，则一定可得()A.a＜bB.a＞bC.|a|＜|b|D.0≤a＜b或a＞b≥0【解析】选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则f(|x|)＝f(x)；若x＜0，则f(|x|)＝f(-x)＝f(x).所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)＜f(b)，可得f(|a|)＜f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在［0，＋∞)上是增函数可得|a|＜|b|，故选C.
4.函数f(x)=x3+ax，f(1)=3，则f(-1)＝______.【解析】显然f(x)是奇函数，∴f(-1)＝-f(1)＝-3.答案：-3
5.若函数f(x)＝(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是______.【解析】利用函数f(x)是偶函数，则k-1=0，k=1，所以f(x)=-x2+3，其单调递减区间为［0，＋∞)．答案：［0，＋∞)
6.f(x)是定义在(－∞，－5］,［5，＋∞)上的奇函数，且f(x)在［5，＋∞)上单调递减，试判断f(x)在(－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．【解析】f(x)在(-∞，-5］上单调递减.任取x1－x2≥5,因f(x)是奇函数且在［5，＋∞)上单调递减，所以f(－x1)
微信/支付宝扫码支付