新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 导学案

第4课时函数的奇偶性基础过关1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期典型例题例1.判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R，又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R，又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x≠2.∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f（x）=.∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.例2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明：∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x)（x＞0）.∴f(x)=即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).例3已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2009］上的所有x的个数.（1）证明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数.（2）解：当0≤x≤1时，f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-1≤x≤1)又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)=(x-2),又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），∴-f（x）=（x-2），∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.∴f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.∵f（x）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-的所有x=4n-1(n∈Z).令0≤4n-1≤2009,则≤n≤,又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z）,∴在［0，2009］上共有502个x使f(x)=-.变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.（1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x)为非奇非偶函数.（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.小结归纳1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.