自主学习·基础知识易误警示·规范指导合作探究·重难疑点课时作业1．3.2奇偶性[学习目标]1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点)2.会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3.能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)
一、函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝_____f(－x)＝______结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数f(x)－f(x)
二、奇、偶函数图象的对称性1．偶函数的图象关于_____对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．2．奇函数的图象在于______对称，图象关于_____对称的函数一定是奇函数．y轴原点原点
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．()(2)函数f(x)＝0，x∈(－1，1)，既是奇函数又是偶函数．()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．()
【解析】(1)由奇、偶函数的定义知(1)正确．(2)∵(－1，1)关于原点对称，又f(－0)＝0＝±f(0)，∴f(x)＝0，x∈(－1，1)，既是奇函数又是偶函数．∴(2)正确．(3)∵f(－2)不一定等于－f(2)，∴(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×
2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解析】函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数．【答案】B
A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称．【答案】D
4．f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝________．【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.【答案】0
预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4
判断下列函数的奇偶性：
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
定义法判断函数奇偶性的步骤
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b等于()
【思路探究】
1．本题中由f(－x)＝f(x)求b时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解方法(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．
函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________．【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即ax2－2x＝－ax2－2x，由对应项系数相等得，a＝0.【答案】0
(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，试求当x＜0时，f(x)的函数表达式；(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，求当x＜0时，f(x)的解析式．【思路探究】解答这类问题，求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上设x，变号后代入已知的函数解析式，借助函数奇偶性求解．
【解】(1)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(1－x)(x＜0)．(2)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1.∴当x＜0时，f(x)＝－x－1.
解此类问题的关键是求出未知区间的函数解析式，其一般步骤如下：(1)在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间；(2)把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．
(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3
【解析】根据奇、偶函数的性质，求出f(x)＋g(x)的解析式．∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.【答案】C
(1)(2014·海口高一检测)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
(2)设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．【思路探究】(1)利用函数的奇偶性，由于函数是偶函数，故f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．(2)由于函数是奇函数，可得f(x)在[－2，0]上递减．借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1－m)＜f(m)转化为具体的不等式求解．
【解析】(1)因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．【答案】A(2)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上是减函数，
解决此类问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
题(1)若将条件“偶函数”改为“奇函数”，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？【解】若f(x)是R上的奇函数，由于x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以x∈(－∞，0)时函数亦为增函数，即函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又－3＜－2＜π，所以f(－3)＜f(－2)＜f(π)．
1．奇偶函数的定义对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．奇偶性的判断方法判断函数奇偶性时，需先依据解析式求出定义域，在定义域关于原点对称的前提下，判断解析式是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．
函数奇偶性判断题的求解误区下列说法正确的是()
【易错分析】对于选项C，易忽视函数的定义域，将其化简为f(x)＝x致误；对于选项D，易忽视定义域关于原点不对称，只看解析式致误．【防范措施】化简解析式，一定注意化简前后的等价性；判断函数的奇偶性应树立定义域优先的原则，首先考查其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数一定不具有奇偶性．
f(x)＝0，x∈[－6，6)的定义域不关于原点对称，所以f(x)在[－6，6)是非奇非偶函数，所以D不正确．【答案】A
[类题尝试]以下函数为偶函数的是()
【答案】B
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