成才之路人教A版数学必修1课件1．3.2　奇偶性

1．3.2奇偶性 1．函数的奇偶性(1)定义①奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做偶函数．－x∈D，且f(－x)＝－f(x)－x∈D，且g(－x)＝g(x) (2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于对称，则这个函数是偶函数．坐标原点坐标原点y轴y轴 (3)判断奇偶性①f(x)＝|x|；③f(x)＝x2(x≥1)；④f(x)＝|x＋1|－|x－1|.[答案]①偶②既是奇函数，又是偶函数③非奇非偶④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数． 00奇 本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征．本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性． 对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y＝f(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(－x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y＝f(x)若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0. ⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性；偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性(ab>0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1]判断下列函数的奇偶性 [分析]利用函数奇偶性定义来判断．∴f(x)为奇函数．(2)f(x)定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1，∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，∴f(x)为非奇非偶函数．(5)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．∴f(x)为偶函数． 判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．[解析]f(x)的定义域为R，当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，当a＝0时，有f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数. [例2]已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．[分析]由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析]∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3于是有： 先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)＝________.[答案]－x＋1[解析]x>0时，－x