新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 练习题

更上一层楼基础·巩固·达标1.已知y=f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0的所有实根之和是（）A.4B.2C.1D.0思路解析：因为f（x）是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.答案：D2.已知函数f（x）（x∈R），满足f（-x）=f（x），则下列各点中必在函数y=f（x）图象上的是（）A.（-a，f（a））B.（-a，-f（a））C.（-a，-f（-a））D.（a，-f（a））思路解析：∵f（-x）=f（x），∴f（-a）=f（a），（-a，f（a））在函数f（x）的图象上.答案：A3.函数y=的奇偶性为（）A.非奇非偶函数B.既是奇函数，又是偶函数C.奇函数，不是偶函数D.偶函数，不是奇函数思路解析：先求函数的定义域得∴定义域为{x|-2≤x＜0或0＜x≤2}.∴f（x）=，即f（x）=，f（-x）==-f（x）.答案：C4.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5思路解析：由已知，可得f（7.5）=f（5.5+2）=-f（5.5）=-f（2+3.5）=-［-f（3.5）］=f（3.5）=f（2+1.5）=-f（1.5）=-f（2-0.5）=-［-f（-0.5）］=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.答案：B5.若函数y=f（x）的定义域是［0，1］，则下列函数中，可能是偶函数的是（）A.y=［f（x）］2B.y=f（2x）C.y=f（|x|）D.y=f（-x）思路解析：y=［f（x）］2的定义域为［0，1］，y=f（2x）的定义域为［0，］，y=f（|x|）的定义域为［-1，1］，y=f（-x）的定义域为［-1，0］.只有C项y=f（|x|）可能是偶函数.答案：C6.设f（x）是定义在R上的偶函数，且在(0，+∞)上是减函数，若a＜0且a+b＞0，则（）A.f（a）＞f（b）B.f（a）=f（b）C.f（a）＜f（b）D.f（a）与f(b)的大小不确定思路解析：∵a＜0且a+b＞0，∴b＞-a＞0，又函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴f(b)＜f(-a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(b)＜f(a). 答案：A7.已知函数f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=10，则f（2）=______________.思路解析：解法一：设g（x）=x5+ax3+bx，x∈R，∵g（-x）=-g（x），∴g（x）为奇函数.而f（x）=g（x）-8，又f（-2）=g（-2）-8=10，∴g（2）=-g（-2）=-18.∴f（2）=g（2）-8=-26.解法二：由题设有f（x）+f（-x）=-16，∴f（2）+f（-2）=-16.又∵f（-2）=10，∴f（2）=-16-10=-26.答案：-268.奇函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2），f（-3）和f（-4）的由小到大的顺序是_____________________.思路解析：奇函数在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上也单调递增，∵-3＜-4＜-2，∴f（-3）＜f（-4）＜f（-2）.答案：f（-3）＜f（-4）＜f（-2）9.已知f（x）是奇函数，且f（x+4）=f（x），又f（1）=3，则f（7）=_______________.思路解析：∵f（x）是奇函数，且f（1）=3，所以f（-1）=-f（1）=-3，∴f（7）=f（3）=f（-1）=-3.答案：-3综合·应用·创新10.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0）上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是____________________.思路解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0］上是减函数，故函数在［0，+∞）上为增函数，又由于f（2）=0，所以当x＞0时，f（x）＜0即f（x）＜f（2），可解得0＜x＜2，利用偶函数图象的对称性可知当x＜0时，满足f（x）＜0的x的取值范围为-2＜x≤0，因此，在整个定义域内，使得f（x）＜0的x的取值范围是（-2，2）.答案：（-2，2）11.作出函数y=-x2+｜x｜+1的图象，并求出函数的值域.思路解析：可先判断函数的奇偶性，若函数具备奇偶性，则只需作出其一半的图象即可，另一半利用奇偶函数的对称性可作出.答案：y=因为函数为偶函数，先画出当x≥0时的图象，然后再利用对称性作出当x＜0时的图象.由图象可知：函数的值域为（-∞，）. 12.已知y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且在［0，+∞）上为增函数，（1）求证：函数在（-∞，0）上也是增函数；（2）如果f（）=1，解不等式-1＜f（2x+1）≤0.思路解析：证明函数的单调性，通常利用单调性的定义进行证明；对抽象不等式，常把常数看成某些变量的函数值，再利用函数的性质去“外层包装”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.（1）证明：设x1、x2是（-∞，0］上任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则-x1，-x2∈［0，+∞），且-x1＞-x2，Δx=x2-x1＞0，Δy=f（x2）-f（x1）.∵f（x）是奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，-x1＞-x2，∴f（-x1）＞f（-x2）.又∵f（x）为奇函数，∴f（-x1）=-f（x1），f（-x2）=-f（x2）.∴-f（x1）＞-f（x2），即f（x1）＜f（x2），即Δy=f（x2）-f（x1）＞0.∴函数f（x）在（-∞，0］上也是增函数.（2）解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（-）=-f（）=-1.由-1＜f（2x+1）≤0，得f（-）＜f（2x+1）≤f（0）.又∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，∴-＜2x+1≤0，得-＜x≤-.∴不等式的解集为{x｜-＜x≤-}.