新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 教案

1．3.2 奇偶性[读教材·填要点]1．函数的奇偶性奇偶性条件偶函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)奇函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)2.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数的图象关于坐标原点对称．[小问题·大思维]1．对于某个函数f(x)，若存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，(f(－x0)＝－f(x0))，这个函数是偶函数(奇函数)吗？提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．2．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)为何值？提示：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0.∴f(0)＝0.3．函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数吗？当x∈[－1,1]时呢？提示：函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是非奇非偶函数，而当x∈[－1,1]时为奇函数．判断函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝x|x|；(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝. [自主解答] (1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵x∈R，∴－x∈R，又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(5)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0,则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称则说明函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则再求f(－x)，并判断f(－x)＝±f(x)是否成立来确定奇偶性．有时还可以用其等价式f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来判断．————————————————————————————————————————(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1).解：(1)由得2≤x2≤2，∴x＝±，即函数定义域为{－，}，关于原点对称．又f(－)＝0＝f()，且f(－)＝－f()＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1＋x≥0得x≥－1，定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.判断分段函数奇偶性[例2] 已知函数f(x)＝判断f(x)的奇偶性．[自主解答] (1)当x0.f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)．(2)当x>0时，－x0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x0，求实数m的取值范围．[自主解答] 由f(m)＋f(m－1)>0， 得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)0.又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0.即f(a)>f(b)．(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数，则不等式可转化为解得：－