指数与指数幂的运算(老师)

指数与指数幂的运算知识清单：1．根式的概念(l)n次方根的定义次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设，凡是大于1的奇数，则的次方根是.②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义．设，是大于1的偶数，则的次方根是.(2)开方与乘方求的次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求2的四次方，结果是，而求2的四次方根，结果为.式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．(3)对于根式，需注意以下四点：①，且．②当为大于l的奇数时，对任意都有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根，③当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时，无意义.表示在实数范围内的一个次方根，另一个是，.④式子对任意都有意义，当为奇数时，；当为偶数时，例1计算：.2．分数指数幂及幂指数(1)的意义分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂不可理解为个 相乘，它是根式的一种新的写法，规定（，，，都是正整数），（，，，都是正整数）.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，’(2)的指数幂的正分数指数幂是，的负分数指数幂没有意义．(3)分数指数幂的运算性质分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致．如①（）；②（）;③().(4)无理数指数幂的意义当，是一个无理数时，的值可用两个指数为的不足近似值和过剩近似值构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是），故是一个确定的实数．(5)幂指数的扩充：幂指数定义底数的取值范围有理数指数正分数指数（）为奇数为偶数负分数（）为奇数且指数为偶数a>0无理数且是无理数时，也是一个确定的实数一般规定例2计算（或化简）下列各式：（1） （2）.3．指数式的条件求值问题(1)化简求值是考试中经常遇到的问题之一．先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理．(2)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用．(3)在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算．例3已知，求的值.4．指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析．(1)逆用公式[例]已知，，，试比较,,的大小．[解析]因，，而121，>>．(2)妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如:,等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．[例]：(3)整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解．[例]已知，求的值．． (4)化异为同[例]计算（5）化负为正[例]化简。例4已知，，且，求的值。例5（1）已知，求；（2）若，，求的值.