2.1.1指数与指数幂的运算1

2.1.1指数与指数幂的运算 [教学目的]⒈使学生理解根式的概念，掌握方根的性质.⒉使学生理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.3.使学生能正确进行根式与分数指数幂的互化；熟练掌握有理指数幂和根式的运算.[重点难点]重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质；难点：根式的概念和分数指数幂的概念. 复习：在初中，我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？an=?a0=?a－n=?答：an=a0=1（a≠0）a-n=(a≠0,n∈N*)复习引入 正整数指数幂的运算性质是：①am·an=am+n(m,n∈N*)；②(am)n=amn(m,n∈N*)；③(ab)n=anbn(n∈N*);④am÷an=am-n(a≠0,m,n∈N*，且m>n)；⑤(a/b)n=an/bn(b≠0,且n∈N*).指数的范围扩大到整数集Z之后①am·an=am+n(m,n∈Z)；②(am)n=amn(m,n∈Z)；③(ab)n=anbn(n∈Z)注意：无论是①—⑤,还是①—③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定. 一般地，如果一个数的n（n>1,n∈N*）次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根.即若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N*.⒈根式的概念当n是奇数时，实数a的n次方根用符号表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±表示.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. ⒉方根的性质奇次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.偶次方根的性质：在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义.0的任何次方根都是0，记作=0.注意：当a≥0时，≥0，所以类似=±2的写法是错误的 ⒊三组常用公式根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：⑴当n为任意正整数时，()n=a.⑵当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.⑶根式的基本性质：，（a≥0）注意，⑶中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.请用文字叙述一下上面的三条性质.⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.⑶若一个根式（算术根）的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. ⑴比较分数的基本性质和根式的基本性质：①分数的基本性质：把分数的分子和分母都乘以或者都除以同一个正整数时，分数的值不变；②根式的基本性质：当被开方数的幂的底数是非负数时，可以约去幂指数与根指数的公共因子而根式的值不变.即（a≥0）二、分数指数的引入 ⑵观察下面的例子：＝a2=a10/5(a>0),即=a10/5(a>0)；=a4=a12/3(a>0)，即=a12/3(a>0).从形式上来看，就是说，当根式的被开方式的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.问题：那么当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，能不能也写成分数指数幂的形式呢？ ⒈正分数指数幂的意义⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：(a>0,m,n∈N*,且n>1)用语言叙述：正数的m/n次幂(m,n∈N*,且n>1)等于这个正数的m次幂的n次算术根.注意：底数a>0这个条件不可少.若无此条件会引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：=-1；=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义. 在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，例如，(a>0)，若无a>0这个条件时，；同时，负数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如：注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特别的说明，底数都表示正数. ⒉负分数指数幂的意义回忆负整数指数幂的意义：a－n=(a≠0,n∈N*).正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：(a>0,m,n∈N*,且n>1).规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上. ⒋有理指数幂的运算性质我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数.上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：⑴ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q)；⑵(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)；⑶(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).说明：若a>0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.即当指数的范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然是下述的3条. 例1：化简：分析：此题中，分数、指数、分子运用平方差公式展开，即可约去分母达到化简目的。解：评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。 例2：已知x+x-1=3,求下列各式的值：分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开。(可由学生解答） ⒈现在我们已有正整数指数幂、负整数指数幂，零指数幂，正、负分数指数幂的概念，而有理数是由整数、分数组成的，所以我们可以说建立了有理指数幂的概念了.⒉正整数指数幂的运算性质有5条，当指数范围由正整数集扩大到整数集Z后，幂的运算性质可由5条合并简化为3条；当指数范围扩大到有理数集Q以至实数集R后，幂的运算性质仍然是上述的3条.小结