指数与指数幂的运算(一)要点

§2.1.1指数与指数哥的运算（1）学习目标1.了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2.了解根式的概念及表示方法；3.理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材P48〜P50,找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为.复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的,记作;如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的，记作.二、新课导学派学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性^实例1.某市人口平均年增长率为1.25%,1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm,宽34cm,厚0.01mm,进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题1:国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3%,则x年后GDP为2000年的多少倍？问题2:生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳141—关系为p=（2）5730.探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学^探究任务二：根式的概念及运算考察：（±2）2=4,那么攵就叫4的;33=27，那么3就叫27的;（±3）4=81，那么±3就叫做81的.依此类推，若xn=a,,那么x叫做a的.新知：一般地，若xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,nwn*.简记：柄.例如：23=8,则第=2.反思：当n为奇数时，n次方根情况如何？例如：327=3,等至7=7,记：x=n./a.当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：81的4次方根就是,记：±吗.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,即农=0.试试：b4=a，则a的4次方根为；b3=a,则a的3次方根为.新知：像卤的式子就叫做根式（radical）,这里n叫做根指数，a叫做被开方数.试试：计算网、海、n寸.反思：从特殊到一般，幅n、Van的意义及结果?结论：（W）n=a.当n是奇数时，^=a；当n是偶数时，比=|a|=《a（a-0）.-a（a1,nWN*.简记为：.像方的式子就叫,具有如下运算性质：（na）n=n.,1,-n；a=np-^p；a复习2：整数指数哥的运算性质.（1）am[an=；（2）二、新课导学派学习探究10探究任务：分数指数哥：引例：a>0时，3萨=5/（77=a2=a^类似可得a=.m新知：规定分数指数哥如下an=n,am（a>0,m,nwN*,n>1）；试试：（1）将下列根式写成分数指数哥形式：而=；,m、nn(a)=;(3)(ab)=,则类似可得3丁=an=—二-n「m(a0,m,nN,n1).naa3/54=;4am=(aA0,mwN*).2245（2）求值：83；55；6万；a".反思：①0的正分数指数哥为;0的负分数指数哥为.②分数指数哥有什么运算性质？小结：规定了分数指数哥的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数哥的运算性质也同样可以推广到有理数指数骞.指数塞的运算性质(a>0,b>0,r,s€Q)rrr：Sa•a=a；X典型例题例1求值：273；变式：化为根式.rsrsrrs(a)=a;(ab)=aa.4。一OK2163；(3产(233.549例2用分数指数哥的形式表示下列各式（b>0）:（1）b2Wb；211115例3计算（式中字母均正）：（1）（3a3b^）（^8a^b3）-（-6a6b6）；小结：例2,运算性质的运用；例3,单项式运算.331例4计算：（1）0）；（2）（2m2n5）104■（-m2n工）6aL3a4(2)b3U5P;(3)3/b^b.13(2)(m4n8)16.(m,nWN*)；(3)(妮-病)4■艇4.小结：在进行指数塞的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数哥,还要善于利用哥的运算法则.反思：①3"2的结果？结论：无理指数哥.（结合教材P53利用逼近的思想理解无理指数哥意义）对含有指数式或根式的乘除运算,②无理数指数哥afa〉。8是无理数）是一个确定的实数.实数指数哥的运算性质如何?8"1J_%派动手试试练1.把.Yx3国产|化成分数指数哥.I）,一练2.计算：（1）柯炳UV27；（2）6j；（"aF）4.125b三、总结提升派学习小结①分数指数哥的意义；②分数指数哥与根式的互化；③有理指数哥的运算性质派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若a>0,且m,n为整数，则下列各式中正确的是（）.mm_：_nnmnmn_mnmnn0A.aa=anB.aa=aC.a=aD.1a=a32.化简252的结果是（).A.5B.15C.25D.125 13.计算［(-72)2.的结果是()A.索B.-7223m_n4.化简27^3=.5.若10m=2,10n=4,贝U10==课后作业，一入3631.化简下列各式：（1）（36）2；492.计算：］，/',京3ra42ab»403比1.1指数与指数哥的运算（练习）学习目标1.掌握n次方根的求解；2.会用分数指数哥表示根式；3.掌握根式与分数指数哥的运算.②arUas=；复习3:填空.①n为②求下列各式的值：（a>0）等.注意,a>0十分重要，无此条件2.完全立方公式:33223(a+b)=a+3ab+3ab+b;33223(a-b)=a-3ab3ab-b.当堂检测（时量：5分钟1.2.3.始的值为（）.A.（a>0）的值是（卜列各式中成立的是（满分：10分)计分：3B.33C.3).A.1B.a1、/n777).A.(一)=nmmD.729117C.a5****D.a103B.1S(-3)4=)C.§x3+y3=(x+y)4学习过程 32111154.化简耳产=.5.化简(a3b，T2b0+(3a&)=.课后作业1.已知x=a2+b2,求4/x2-2a-x+a^的值.2.探究：n/7+(Va)n=2a时，实数a和整数n所应满足的条件.§2.1.2指数函数及其性质(1)学习目标1.亍而指薪函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2.理解指数函数的概念和意义；3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质(单调性、特殊点)^学习过程一、课前准备(预习教材P54~P57,找出疑惑之处)__-—————-____——―__复习1:零指数、负指数、分数指数哥怎样定义的？mm0(1)a=；(2)a—=；(3)an=；an=淇中a>0,m,nwN,n>1复习2：有理指数哥的运算性质.(1)amLan=；(2)(am)n=；(3)(ab)n=.二、新课导学派学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A.细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%,那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数y=ax(a>0,且a/1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.反思：为什么规定a>0且awi呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质.研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：y=(1)x,y=2x讨论：(1)函数y=2x与y=(1)x的图象有什么关系？如何由y=2x的图象画出y=(1)x的图象?22.变底数为3或2后呢?3(2)根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质例1函数f(x)=ax(a>0,且a#1)的图象过点(2,1),求f(0),f(-1),f(1)的值.小结：①确定指数函数重要要素是;②待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：(1)2*2°.5；(2)0.9：0.945；(3)2.1*0.52.1；(4)一，3与1.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.X动手试试练1.已知下列不等式，试比较m、n的大小：(1)(2)m>(-)n；(2)1.1m0,且a=1)的定义域是R,所以y=af(x)(a>0,且a.1)的定义域与f(x)的定义域相同.而y=cp(ax)(a>0,且a=1)的定义域，由y=，t)的定义域确定X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：D.任意值D.(2,2)1.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则a的值为()A1B.2C.1或2x22.函数f(x)=a—+1(a>0,aw1)的图象恒过定点().A.(0,1)B.(0,2)C.(2,1)3.指数函数①f(x)=mx,②g(x)=nx满足不等式0cm10an(a>1);(4)am0.而形如y^^(ax)(a>0,且a=1)的函数值域的研究，易知ax>0,再结合函数④(t)进行研究.在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1.如果函数y=ax(a>0,aw1)的图象与函数y=bx(b>0,bw1)的图象关于y轴对称，则有()A.a>bB.a1)在R上递减C.若a">a"七贝Ua>1D.若2K>1,贝Ux>1234.比较下列各组数的大小：(2)2(0.4)2；(半严6(T3)」.7.55.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如右图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是课后作业21.已知函数f(x)=ax——(a€R),求证：对任何a=R,f(x)为增函数.21ox2.求函数y=--1的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性^2x1§2.2.1对数与对数运算(1)学习目标1.理解对数的概念；2.能够说明对数与指数的关系；3.掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程一、课前准备(预习教材P62~P64,找出疑惑之处)复习1:庄子：一尺之植，日取其半，万世不竭.(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺?复习2:假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？(只列式)二、新课导学派学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：(1)问题具有怎样的共性？(2)已知底数和哥的值，求指数.怎样求呢？例如：由1.01x=m,求x.新知：一般地，如果ax=N(a>0,a#1),那么数x叫做以a为底N的对数.记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10gl0N简记为IgN在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作InN试试：分别说说Ig5、Ig3.5、In10、In3的意义.反思：(1)指数与对数间的关系？aA0,a=1时，ax=Nu(2)负数与零是否有对数？为什么？(3)Ioga1=,Iogaa=X典型例题 例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式(1)53=125；(2)2工=1;(3)3a=27；(4)128变式：log132=?1g0.001=?2小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体2例2求下列各式中x的值：(1)10g64x=］；210—=0.01；(5)log132=-5;(6)1g0.001=;(7)1n100=4.606.2(2)10gx8=-6；(3)lgx=4；3(4)lne=x.小结：应用指对互化求x.X动手试试练1.求下列各式的值.(1)10g525;(2)1log216(3)1g10000.练2.探究logaanal0agN、总结提升派学习小结①对数概念；②1gN与1nN;③指对互化；④如何求对数值1.当堂检测(时量：5分钟若10g2x=3,贝uX=(满分：10分)计分：).A.4B.6C.8D.92.3.10gg咛3而+而尸()a1B.对数式1oga/(5—a)=b中，实数a的取值范围是-1C.2D.-2A.(-°0,5)B.(2,5)C.(2*)D.).(2,3)U(3,5)4.计算：*》(3+242):5.若10gx(石+1)=-1,则课后作业1.将下列指数式化成对数式,x=对数式化成指数式(1)35=243；(2)23y=(6)log2128=7；2.计算：(1)log927；(2)32(7)1og327(3)4a=301(4)(2、m)=1.03;(5)二a.10g3243；(3)10g4381;§文2.1(3)叽犯(2—拘；对数与对数运算((4)log354625.2)学习目标1.掌握对数的运算性质,学习过程并能理解推导这些法则的依据和过程;2.能较熟练地运用对数运算法则解决问题、课前准备(预习教材P64~P66,找出疑惑之处)复习(2)复习复习(1)(2)1：(1)对数定义:如果指数式与对数式的互化：2:哥的运算性质.(1)ax=N(aA0,a*1),那么数X叫做xaamLa；(2)mn(a)；(3)(ab)3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答：、口・八.一r、m.设loga2=m,loga3=n，求a;设1ogaM=m,1ogaN=n，试禾ij用m、n表示loga(M•N).二、新课导学X学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由apaq=ap+,如何探讨logaMN和logaM、问题：设logaM=p,logaN=q,由对数的定义可得:logaN之间的关系？M=a,N=a,•-MN=a「•logaMN=p+q,即得logaMN=logaM+logaN.根据上面的证明，能否得出以下式子？如果0,贝U(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaM=logaM-logaN;(3)logaMNp飞a>0,a#1,M>0,N>n=nlogaM(nR).反思：自然语言如何叙述三条性质?性质的证明思路？(运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用哥运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式X典型例题,) 3一例10ga（MN）=；（2）10gaM=；（3）logaMn=N换底公式logab=.复习2:已知10g23=a,1og37=b,用a,b表示10g4256.复习3:1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25%,问哪一年我国人口总数将超过14亿？（用式子表示）二、新课导学X典型例题：例120世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为：M=1gA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）^（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级（精确到0.1）；用logaX,lOgay,lOgaZ表示下列各式：（1）lOga,；（5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1））lOga驾?.zz例2计算：（1）10g525；（2）10go.41；（3）10g2（48m25）;（4）lgm.探究：根据对数的定义推导换底公式logab=lOgcb（a>0,且a#1；c>0,且c=1；b>0）.logca试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1%,多少年后可以达到18亿？X动手试试练1.设lg2=a,lg3=b，试用a、b表示lOg512.1logab=logba变式：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg6、lg12.lgJ3的值.练2.运用换底公式推导下列结论.（1）logambn=-logab；（2）am练3.计算：（1）lg14—2lg7+lg7—lg18;（2）Jg^43.3lg9三、总结提升派学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式^派知识拓展：①对数的换底公式logaN=lOgbN；②对数的倒数公式logab=—1—.logbalogba③对数恒等式：loganNn=logaN,logamNn=—logaN,logabjogbJlogca=1.mX当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列等式成立的是（）A.10g2（3*5）=logz3-logz5B.10g2（-10）2=2log2（-10）C.log2（3+5）=log23Jog25D.10g2（-5）3=-log25333abab332.如果1gx=1ga+31gb—51gc,那么（）.A.x=a+3b—cB.x=C.x=—5-D.x=a+b—c5cc3.若21g（y—2x）=1gx+1gy,那么（）.A.y=xB.y=2xC.y=3xD.y=4x1._4.计算：（1）10g93+1ogg27=；（2）10g2}+10g12=.223155.计算：1g1g+21g3=课后作业__“lg271g8-31g而/c、21.计算：（1）；（2）lg2+1g21g5+1g5.1g1.22.设a、b、c为正数，且3a=4b=6c,求证：1--=—.ca2b§2.2.1对数与对数运算（3）学习目标1.能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2.加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力学习过程一、课前准备（预习教材P66~P69,找出疑惑之处）复习1:对数的运算性质及换底公式.:如果a>0,a#1,M>0,N>0,则 小结：读题摘要一寻找数量关系一利用对数计算例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下列问题：(1)求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P,并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(2)已知一生物体内碳14的残留量为P,试求该生物死亡的年数t,并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(3)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%,试推算古墓的年代？反思：①P和t之间的对应关系是对应；②P关于t的指数函数P=(573{1)x,则t关于p的函数为练1.计算：(1)5」g0.23；(2)10g4310g92—log14/32.2练2.我国的GDP年平均增长率保持为7.3%,约多少年后我国的GDP在2007年的基础上翻两番?三、总结提升派学习小结1.应用建模思想(审题一设未知数一建立派当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1.£0g5(02(aw0)化简得结果是().A.—a12.若1og7[1og3(1og2X)]=0,则x2=().A.3113.已知3a=5b=m,且_+—=2,则m之值为(ab4.若3a=2,则10g38—2log36用a表示为.x与y之间的关系一求解一验证)；2.用数学结果解释现象b.a2C.|a|D.aB.23C.22D.32).A.15B.屈C.土石5D.22515.已知lg2=0.3010,lg1.0718=0.0301,则lg2.5=；210=课后作业222..10g25+log40.2jilog52+log250.51.化简：(1)lg5+3lg8+lg51g20+(lg2);(2)x2.右lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,求]的值.22.2对数函数及其性质(1)学习目标1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P70~P72,找出疑惑之处)1复习1：回出y=2x、y=(')x的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质^2复习2:生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.(列式)二、新课导学派学习探究：探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表：碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t讨论：t与P的关系？(对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系t=logtP,生物死亡年数t都有唯一的值5730112与之对应，从而t是P的函数)新知：一般地，当a>0且aw1时，函数y=logax叫做对数函数，自变量是x;函数的定义域是(0,+8).反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y=2log2x,y=log5(5x)都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制(a>0,且a#1). 探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗?研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质.研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.y=log2x；y=logo.5X.反思：(1)根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？a>101时，」x^——口Wf(二一当0cac1时，——口上f(-1一2).派当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：函数y=2+10g2x(x>1)的值域为().A.(2,二)2.B.3.4.5.一，，1一一不等式的10g4x>一解集是(2比大小：(1)log67log76函数y=1og(x-1)(3-x)的定义域是).A.(2,二)B.(0,2)B.(-二,2)C.1(2,：=)12,•二1D.(0,2)D.3,二;(2)log31.5log20.8.课后作业1.已知下列不等式，比较正数m、n的大小:(1)10g3mv1og3n;2.求下列函数的定义域:(2)log0.3m>10g0.3n;(1)y=J1og2(3x-5);包2(3)logam>logan(a>1)(2)y-.1og0.54x-3.对数函数(练习) 学习目标1.掌握对数函数的性质；学习过程一、课前准备(复习教材复习1:对数函数y=1og2.能应用对数函数解决实际中的问题P62~P76,找出疑惑之处)x(a>0,且a#1)图象和性质.a>101时，yW；当0