指数与指数幂的运算教学讲义

.2.1.1指数与指数幂的运算（2课时）第一课时根式教案目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）；a0=1（a；(2)(m,n∈Z)；(m,n∈Z)；(n∈Z)（3）；-；（4）；（II）讲授新课. .1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：22=4，（-2）2=42，-2叫4的平方根23=82叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（throot）,其中，且。问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？分析过程：例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6. .的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；因为，所以a2是a6的3次方根。结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。从而有：，，例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。解：因为，，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。. .结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3n次方根的性质：（板书）其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书）①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求，，，由所得结果，可有：（板书）②性质的推导如下：. .性质①推导过程：当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，可知：性质②推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：当n为偶数时，由n次方根定义得：则综上所述：注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III）例题讲解例1．求下列各式的值：（4）（a>b）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值. .(1)(2)(3)(4)（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值b.书P82习题2.1A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？. .第二课时分数指数幂教案目标：(一)教案知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.(二)能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三)德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教案重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教案难点：对分数指数幂概念的理解.1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教案过程：（Ⅰ）.复习回顾［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.. .整数指数幂运算性质(1)am·an=am+n(m,n∈Z)根式运算性质(2)(am)n=am·n(m,n∈Z)(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m，n是分数时也成立.(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.①②③④例子：当a＞0时［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤. .用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.（Ⅱ）.讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.(1)(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.2.规定(板书)［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.(1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q)(2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q)(3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q)3.有理指数幂的运算性质(板书). .［师］说明：若a＞0，P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.例2求值：.4.例题讲解分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.解：例3用分数指数幂的形式表示下列各式：(式中a＞0)解：［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.Ⅲ.课堂练习. .课本P51练习1.用根式的形式表示下列各式(a＞０)解：(1)（2）（ａ＋ｂ＞０）（3）（4）（ｍ＞ｎ）(5)（ｐ＞０）(6)2.用分数指数幂表示下列各式：解：(1)(2)(3)(4)＝（ｍ－ｎ）２. .(5)(6)3.求下列各式的值：(1)；（2）；（3）；（4）（5）；（6）解：(1)(2)（3）(4)(5)(6). .要求：学生板演练习，做完后老师讲评.（Ⅳ）.课时小结［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.（Ⅴ）.课后作业2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)（2）（3）（4）（5）（6）（一）1.课本P53练习题解：（1）(2)(3)（4）（5）. .（６）3.求下列各式的值：(1)；（2）；（3）；（4）解：（１）（2）(3)(4)4.用计算器求值(保留4位有效数字)(1)；（2）；（3）；（4）；(5)；（6）25·解：（1）＝1.710（2）＝46.88（3）＝0.1170（4）＝28.90（5）＝2.881（6）＝0.08735. .板书设计分数指数幂1.正分数指数幂意义3.有理指数幂性质（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）（1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ（2）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ（ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q）（3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ（ａ＞0，ｂ＞0，ｒ∈Ｑ）2.规定4.例题(1)［例1］（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１），［例2］(2)0的正分数指数幂等于0，5.学生练习(3)0的负分数指数幂无意义..