高一数学 指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算知识点一 n次方根、n次根式思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理 一般地，有(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0，＋∞)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.知识点二 根式的性质思考 我们已经知道若x2＝3，则x＝±，那么()2等于什么？呢？呢？梳理 一般地，有(1)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)＝a(n为大于1的奇数)；(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数).类型一 根式的意义 例1 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围.反思与感悟 对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要有意义，必不为负.跟踪训练1 若＝a－1，求a的取值范围.类型二 利用根式的性质化简或求值例2 化简：(1)；(2)(a>b)；(3)()2＋＋.解 (1)＝|3－π|＝π－3.(2)＝|a－b|＝a－b.(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思与感悟 n为奇数时n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，n才有意义，且n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)；(2)(a≤1)；(3)＋.类型三 有限制条件的根式的化简例3 设－30，b>0，r∈Q).知识点三 无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0). (1)；(2).解 (1)＝.(2)＝.反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.跟踪训练1 用根式表示(x>0，y>0).命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)； (2)；(3)； (4).解 (1)＝.(2)＝＝.(3)＝.(4)＝＝＝a3.反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义.如＝＝－1，但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂：(1)；(2)(a>0)；(3)b3·；(4). .类型二 运用指数幂运算公式化简求值例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)；(2)；(3).解 (1)＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09；(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a；(3).反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.跟踪训练3 (1)化简：×(－)0＋80.25×＋(×)6；(2)化简：； (3)已知＝5，求的值.类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，∴，∴⇒a8＝32⇒a＝.方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求－的值.1.化简的值为(  )A.2B.4C.6D.82.等于(  ) A.25B.C.5D.3.用分数指数幂表示(a>b)为(  )A.B.C.D.4.()4等于(  )A.a16B.a8C.a4D.a25.计算的结果是(  )A.32B.16C.64D.1281.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.课时作业一、选择题1.化简式子的结果是(  )A.B.－C.D.－2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(  ) A.－＝B.＝－C.＝(x，y≠0)D.＝3.·等于(  )A.B.C.D.4.中x的取值范围是(  )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，)∪(，＋∞)C.(－∞，)D.(，＋∞)5.，，这三个数的大小关系为(  )A.