指数与指数幂地运算优秀教案

2.1.1指数与指数幂的运算（2课时）第一课时根式教案目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）anaa（nN*)；a0=1（a0)；an1n(a0,nN*)n个aa(2)amanamn(m,n∈Z)；(am)namn(m,n∈Z)；(ab)nanbn(n∈Z)（3）9_____；-9_____；0______（4）(a)2_____(a0)；a2________（II）讲授新课1/15 1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为aman可看作aman,所以amanamn可以归入性质amanamn；又因为(a)n可看作baman，所以(a)nan可以归入性质(ab)nanbn(n∈Z)）,这是为下面学习分nbb数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（nN*）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：22=4，（-2）2=42，-2叫4的平方根23=82叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根2n=a2叫a的n次方根分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot）,其中n1，且nN。问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？xna是否正确？分析过程：例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）2/15 解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为(2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；因为(a2)3a6，所以a2是a6的3次方根。结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为xna。从而有：3273，5322，3a6a2例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。解：因为2416，(2)416，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：na(a0)其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n，所以0的3次方根，0的4次方=0根均为0。结论3：0的n次方根是0，记作n00,即na当a=0时也有意义。3/15 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3n次方根的性质：（板书）na,n2k1nax(kN*)其中叫根式，n叫根指数，a叫被na,n2k开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书）nana①（），即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求3(2)3，525，434，(3)2由所得结果，可有：（板书）②nana,n为奇数；|a|,n为偶数性质的推导如下：4/15 性质①推导过程：当n为奇数时，xna,由xna得(na)na当n为偶数时，xna,由xna得(na)na综上所述，可知：(na)na性质②推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：anan当n为偶数时，由n次方根定义得：anan则|a||nan|nan综上所述：(na)na,n为奇数|a|，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III）例题讲解例1．求下列各式的值：33244（4）(ab)2（a>b）（1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值5/15 (1)532(2)(3)4(3)(23)2(4)526（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值362x12（1）－27(2)a（3）（－4）(4)()3xb.书P82习题2.1A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？6/15 第二课时分数指数幂教案目标：(一)教案知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.(二)能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三)德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教案重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教案难点：对分数指数幂概念的理解.1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教案过程：（Ⅰ）.复习回顾［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.7/15 整数指数幂运算性质(1)am·an=am+n(m,n∈Z)根式运算性质(2)(mnm·n(,∈Z)nna,n为奇数a)=aamna,n为偶数(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m，n是分数时也成立.(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.例子：当a＞0时10①5a105(a2)5a2a512②3a123(a4)3a4a322③3a233a3(a3)11④a(a2)2a2［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的8/15 整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.（Ⅱ）.讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义m*nnm,且n＞1)aa(＞0,,∈Namn［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定(板书)m1*(1)an(a＞，mn∈且n＞1)m0,N,an(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质(板书)(1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q)(2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q)(3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q)9/15 ［师］说明：若a＞0，P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.4.例题讲解211163例2求值：83,1002,()3,()4.481分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.222解：83(23)3322423112111002(102)2()101102(1)310(22)32(2)(3)2664416()324(3)2)3274()4(833例3用分数指数幂的形式表示下列各式：a2a,a33a2,aa(式中＞0)a解：a21215aa2a2a2a223211a33a2a3a3a3a311313aa(aa2)2(a2)2a4［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.Ⅲ.课堂练习10/15 课本P51练习1.用根式的形式表示下列各式(a＞０)1332a5,a4,a5,a31解：a55a3a44a331a55a35a321a33a23a22.用分数指数幂表示下列各式：(1)3x2（）4(ab)3（ａ＋ｂ＞０）2（3）3(mn)2（4）(mn)4（ｍ＞ｎ）(5)p6q5（ｐ＞０）(6)m3m2解：(1)3x2x33(2)4(ab)3(ab)42(3)3(mn)2(mn)31(4)(mn)4(mn)2２＝（ｍ－ｎ）11/15 1655(5)p6q5(p0)(p6q5)2p2q2p3q2(6)m315m3m2m2m3.求下列各式的值：3233(1)252；（2）273；（3）(36)2；（4）(25)249434（5）8192；（6）2331.5612332353125解：(1)252(52)2522232329(2)273(33)33333(6)（3）(36)2[(6)2]249773636321622()733437(4)(25)4353532)2]22()[(()222(5)3(5)32382253125434212142(5)9234[(32)343433243381]223211211(3433)4(34)4(33)43363631311(6)2331.5612233()3(322)6212/15 111111111123233233623(22323)(323336)1111121322363336要求：学生板演练习，做完后老师讲评.（Ⅳ）.课时小结［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.（Ⅴ）.课后作业（一）1.课本P53练习题2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)3a4a（）2aaa（3）3(ab)2（4）4(ab)3（5）3ab2a2b（6）4(a3b3)211117解：（1）3a4aa3a4a34a121111111117(2)aaa[a(aa2)2]2a2a4a8a248a82(3)3(ab)2(ab)33（4）4(ab)3(ab)41（5）3ab2a2b(ab2a2b)313/15 21（６）4(a3b3)2(a3b3)4(a3b3)23.求下列各式的值：164131252(1)22；（3）100004；（4）)32；（）2()(4927111解：（１）22(112)221111264（2）()1821818172)22())(2()2(877733104(3)0.001(3)100004(104)44103(4)(125)2725325252(3]3()33)3[()3()3333(5)293254.用计算器求值(保留4位有效数字)121413(1)53；（）3213；（）732；（4）675；(5)832；（）·8423625121解：（1）53＝1.710（2）3213＝46.88（3）732＝0.1170413（4）675＝28.90（5）832＝2.881（6）84＝0.0873514/15 板书设计分数指数幂1.正分数指数幂意义3.有理指数幂性质mannam（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）（1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓｒｓ＝ａｒｓ（2）（ａ）（ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q）（3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ（ａｂｒ＞0，＞0，∈Ｑ）2.规定4.例题m1(1)an［例1］man（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１），［例2］(2)0的正分数指数幂等于0，5.学生练习(3)0的负分数指数幂无意义.15/15