【教学设计】《指数与指数幂的运算》（人教）

经金aa中小学教材宙定養员余2004年初昭通过普通髙中课程标准实验教科书数学❶人民教育岀版社课程鞍材硏究所新著中学数学课程教材研究开发中心《指数与指数幕的运算》♦教材分析]从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的刀次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幕的运算性质由整数指数幕推广到实数指数幕。厂、♦教学目标【知识与能力目标】1、裳握/?次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2、了解分式指数幕的含义，学会根式与分数指数幕之间的相互转化；3、理解有理数指数幕和无理数指数幕的含义及其运算性质。【过程与方法目标】具体习题，灵活运用根式运算。由整数指数幕的运算性质理解有理数指数幕的运算性质。【情感态度价值观目标】1、通过学习兄次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。 2、通过分数指数幕的学习，让学生体会严谨的求学态度。♦教学重难点丿【教学重点】根式与分数指数幕Z间的互相转化0【教学难点】根式运算与有理数指数幕的运算。♦课前准备通过木节导学案的使用，引导学生复习回顾初屮相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。♦教学过程(一)创设情景，揭示课题1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。2、由实例引入，了解指数概念提岀的背景，体会引入指数的必要性；(1)据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未來20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%0那么在2010年，我国的GDP可望为2000年的多少倍？(2)当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，人约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”•根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量Pt(1^5730与死亡年数方之间的系〃=—,那么当生物体死亡了1万年后，它体内碳14的含量\2>为多少？mooo(1、5730(3)对1.O7310,卩二一这两个数的意义如何？怎样运算？12丿3、初中根式的概念思考1：4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:—般地，实常数□的平方根、立方根是什么概念？ 思考4:如果卫=日，2=日，参照上面的说法，这里的/分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，曰的刀次方根是一个什么概念？试给出其定义。如果一个数的平方等于臼，那么这个数叫做臼的平方根，如果一个数的立方等于臼，那么这个数叫做臼的立方根。思考1：-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，/的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设曰为实常数，则关于/的方程#二日，彳二目分别有解吗？有几个解？思考3:—般地，当〃为奇数时，实数臼的〃次方根存在吗？有几个？思考4:设臼为实常数，则关于/的方程分别有解吗？有几个解？思考5:—般地，当刀为偶数时，实数臼的刀次方根存在吗？有儿个？思考6:我们把式子丽(mN,n>l)叫做根式，其小刀叫做根指数，自叫做被开方数。那么，白的刀次方根用根式怎么分类表示？当n是奇数时,曰的〃次方根为\[ao当刀是偶数时，若Q0,则曰的刀次方根为土丽；若沪0,则日的刀次方根为0；若水0,则日的n次方根不存在。思考1：(眈)3,(疙)5,(施)4分别等于什么？一般地(丽)”等于什么？思考2:&(-2)3,疗,#(-2)4分别等于什么？一般地(丽)“等于什么？当刀是奇数时历=a;当刀是偶数时灯=|川。例1、求下列各式的值(1)04;(2)7(-2/*(3)珈而；(1)J(-IO)?；(5)#(3-龙)4；(6)例2、化简下列各式(1)(5-—；(2)(y/ci—1)2+J(1-a)?+M(1—g)?. 4、复习初屮整数指数幕的运算性质;am-an=aHt+n(a,n)n=amn(ab)H=aHbn(一)研探新知1、指数与指数幕的运算(1)分数指数幕思考1:设Q0,佰，V7,妒分别等于什么？思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？思考3:按照上述规律，根式#F,疔，好分别可写成什么形式？思考4:我们规定：\[cF=c^1(Q0,刃，r^N且/?>1),2\_2那么8彳表示一个什么数？3耳举分别表示什么根式？n_思考5：你认为如何规定G卞巳V；且77>1)的含义？思考6:怎样理解零的分数指数幕的意义？233思考7:(一2尸，(一2尸,(哲都有意义吗？n当6/i)^时无意义？正数的分数指数幕的意义。规定:man=(a>0,m,neN'\n>1)--11”an=——=.—(a>0,m,HgN,n〉1)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义。指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕。2、有理指数幕的运算性质(1)N•as=a,+s(a>0,厂,sw0；(2)(ary=a,y(a>0,厂,swQ)； (1)(aby=arb'(a>O,b>O,reQ)・引导学生解决本课开头实例问题。3、无理指数幕思考1：我们知道V2=1.41421356…，那么5应的大小如何确定?V2的过剩近似值5迈的过剩近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752思考2:观察上面两个图表，5。是一个确定的数吗？思考3:有理指数幕的运算性质适应于无理数指数幕吗？指115：—般地，无理数指数幕是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕。思考：(教材P63练习4)巩固练习思考：(教材1址思考题)(一)例题讲解例3、求下列各式的值1_111A—(1)273；(2)252；(3)(-)-5；(4)(―)4281例4、化简下列各式的值22丄丄5 (1)(加亍沪)(-6/沪)一(一3a'b')(d,b>0)丄(2)(nz^n8)8(771,n>0)⑶(V25-V125)-V25说明：让学牛熟练掌握根式耳分数指数幕的互化和有理指数幕的运算性质运用。（四）课堂练习1、教材1沧例io2、教材P63练习1-3。（五）课堂小结本节主要学习了根式与分数指数幕以及指数幕的运算，分数指数幕是根式的另i种表示形式，根式与分数指数幕可以进行互化.在进行指数幕的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幕的运算法则。（六）布置作业1、必做题：教材P69习题2.1（A组）第1—4题。2、选做题：教材1%习题2.1（B组）第2题。♦教学反思略。