2.1.2指数函数及其性质

2.1.2指数函数及其性质（2个课时）一.教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法.②教具：多媒体.第一课时一．教学设想：1.情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（＞1，且）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.下面我们通过先来研究＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象124y=2x--------------xy0 再研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.124                       --------------xy0--------------xy0 从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？0②利用电脑软件画出的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.0 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质＞10＜＜1＞10＜＜1向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1＜0，＜1＜0，＞15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有（4）当＞1时，若＜，则＜；例题：例1：（P66例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得提问：要求出指数函数，需要几个条件？课堂练习：P68练习：第1，2，3题 补充练习：1、函数2、当解（1）（2）（－，１）例2：求下列函数的定义域：（1）（2）分析：类为的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得.3．归纳小结作业：P69习题2.1A组第5、6题1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.第2课时教学过程：1、复习指数函数的图象和性质2、例题例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5与1.73(2)与(3)1.70.3与0.93.10解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以.解法2：用计算器直接计算：所以，解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小.思考：1、已知按大小顺序排列.2.比较（＞0且≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿经过1年人口约为13（1+1%）亿经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年人口约为13(1+1%)亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数.思考：P68探究： （1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数.（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数.（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？3．课堂练习Y=（1）右图是指数函数①②③④的图象，判断与1的大小关系；（2）设其中＞0，≠1，确定为何值时，有：①②＞（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住＞1或0＜＜时的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）.作业：P69A组第7，8题    P70B组第1，4题