人教版必修高中高一数学2.1.2 指数函数及其性质 学案

2.1.2指数函数及其性质【学习目标】1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．4．熟练掌握指数函数的图象和性质．5．会求指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．【自主梳理】1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__________，其中x是自变量．因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______．2．底数为什么不能是负数、零和1?(1)当a＜0时，如y＝(－2)x，当x＝，，…等时，在实数范围内函数值不存在；(2)当a＝0时，若x≤0，y＝0x无意义；(3)当a＝1时，y＝1x＝1是一个常数，没有讨论的必要．3．在指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的表达式中，ax的系数必须是1，自变量x在指数的位置上．例如：函数y＝2x，y＝()x是________；但y＝2·3x，y＝2x＋1等不是指数函数．答案：1.指数函数R3.指数函数【重点领悟】4．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质：(1)图象 (2)性质5．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象． 6．设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则有：①f(0)＝______，f(1)＝______；②若x≠0，则__________________；③若x≠1，则__________________；④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.答案：5．y＝2x－16．①1 a ②f(x)＞0且f(x)≠1③f(x)＞0且f(x)≠a ④x∈R7.【探究提升】1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？解析：形如y＝(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？解析：①如果a＝0，②如果a＜0，比如y＝，这里对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．③如果a＝1，比如y＝＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．4）．指数函数y＝的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？[0，＋∞) 5）．指数函数y＝的函数值能否为负值？不能【学法引领】【例1】函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(  )A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1解析：由指数函数定义知所以解得a＝3．答案：C【例2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝；④y＝xx；⑤y＝；⑥y＝．解析：序号是否理由①否()x的系数不是1②否2x－1的指数不是自变量x③是满足指数函数的概念④否底数是x，不是常数⑤否指数不是自变量x⑥否底数不是常数且指数不是自变量x答案：③【例3】函数y＝(－1)x在R上是(  )A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数解析：由于0＜－1＜1，所以函数y＝(－1)x在R上是减函数．因为f(－1)＝(－1)－1＝，f(1)＝－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝(－1)x不具有奇偶性． 答案：D【例4】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(  )A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．答案：B析规律底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有ykg粮食，求y关于x的函数解析式．分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360Mkg．1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)kg，人口数量为M(1＋1.2%)，则人均一年占有粮食为kg，2年后，人均一年占有粮食为kg，…… x年后，人均一年占有粮食为y＝kg，即所求函数解析式为(xN*)．点技巧指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．【巩固训练】1．函数f(x)＝的定义域是(  )A．(－∞，0)   B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是(  )A．5天B．6天C．8天D．9天答案：D 3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过(  )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A3．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(  )A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.答案：C4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y＝2x－1＋2 5．函数y＝x－2x在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y＝x－2x在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为.答案：【知识网络】1.根式的定义：叫做根式n叫做根指数，叫做被开方数.2.根式的性质：（1）当n为奇数时，，（）；（2）当n为偶数时，，（）；，（）.注意：当n为偶数时，包含两个隐含条件①；②.3.根式与指数幂的转化：(1)分数指数幂：；(2)0指数幂：，；(3)负指数幂：，.4.幂运算法则：（1），；（2），；（3）.【学习反思】1．熟记整数幂的运算性质．2．理解n次方根与根式的概念． 3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.