指数函数及其性质

第2课时 指数函数及其性质的应用 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用．(重点) 1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是________．若a>1，则当x＝0时，y__1；当x>0时，y>1；当x0，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的上方；当x0，且a≠1)和y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于____对称．y轴 复合函数y＝af(x)单调性的确定：当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____；当00.53x－4⇒23－2x>24－3x⇒3－2x>4－3x⇒x>1.答案：{x|x>1} 由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解. [题后感悟]对于y＝af(x)这类函数，(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域． 解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域. [解题过程]函数定义域为R.令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1，∴值域为{y|y>1，y∈R}．[题后感悟]如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？①换元，令t＝ax；②求t的范围，t∈D；③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域． 如图所示：(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x－1)的图象，如下图 (2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(1)(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(2) [题后感悟]利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对称需分清对称轴是什么，如(3)(4)． 利用复合函数的单调规律求之. [解题过程](1)设y＝au，u＝x2＋2x－3.由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函数；当00且a≠1)的图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0且a≠1)的图象关于坐标原点对称． 2．y＝φ(ax)型或y＝af(x)型函数的单调规律研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性，可以有如下结论：当a>1时，函数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相同；当0