人教版必修高中高一数学2.1.2 指数函数及其性质 教案

2.1.2指数函数及其性质（第一课时）教学目标：1、理解指数函数的概念2、根据图象分析指数函数的性质3、应用指数函数的单调性比较幂的大小教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：底数a对函数值变化的影响教学方法：学导式（一）复习：（提问）引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。（二）新课讲解：1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．练习：判断下列函数是否为指数函数。①②③（且）④⑤⑥⑦⑧．2.指数函数（且）的图象：例1．画的图象（图（1））．解：列出的对应表，用描点法画出图象…-3-2-1.5-1-0.500.511.523……0.130.250.350.50.7111.422.848…图（1）例2．画的图象（图（1））．…-3-2-1.5-1-0.500.511.523……842.821.410.710.50.350.250.13… 指出函数与图象间的关系？说明：一般地，函数与的图象关于轴对称。3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第66页例6）。例4．比较下列各题中两个值的大小：；（教材第66页例7）小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；练习：教材第68页练习1、3题。作业：教材第69页习题2。1A组题第6、7、8题2.1.2指数函数及其性质（第二课时）教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4.培养学生数学应用意识。教学重点：指数函数性质的运用教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1．指数函数的概念、图象、性质2．练习：（1）说明函数图象与函数图象的关系；（2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；（3）画出函数的草图。（二）新课讲解：例1． 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.经过1年，剩留量=1×84%=0.841；经过2年，剩留量=1×84%=0.842；……一般地，经过x年，剩留量，根据这个函数关系式可以列表如下：012345610.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.答：约经过4年，剩留量是原来的一半。例2．说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）；（2）．解：（1）比较函数与的关系：与相等，与相等，与相等，……由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。（2）比较函数与的关系：与相等，与相等，与相等，……由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。练习：说出下列函数图象之间的关系：（1）与；（2）与；（3）与．例3．求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）（4） ．解：（1）∴原函数的定义域是，令则∴得，所以，原函数的值域是．（2）∴原函数的定义域是，令则，在是增函数∴，所以，原函数的值域是．（3）原函数的定义域是，令则，在是增函数，∴，所以，原函数的值域是．（4）原函数的定义域是，由得，∴，∴，所以，原函数的值域是．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。3．了解函数与及函数与图象间的关系。作业：习题2.1第3，5，6题2.1.2指数函数及其性质（第三课时）教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1.指数函数的图象及性质2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较与或者的关系；（3）根据函数奇偶性定义得出结论。（二）新课讲解： 例1．当时，证明函数是奇函数。证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。∴，所以，函数是奇函数。评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。例2．设是实数，，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设，则，由于指数函数在上是增函数，且，所以即，又由，得，，所以，即．因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若为奇函数，则，即，变形得：，解得：，所以，当时,为奇函数。评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。（2）判断的单调区间。小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。作业：（补充）1．已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求证函数在上是增函数。2．函数的单调递减区间是．3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。