《2.2.1对数与对数运算》

一、1、小时候我们为什么能理解整数比如数字2答：是因为我们可以找到一个模型就是2个苹果等等。2、小时候我们为什么理解分数比如2/3答：是因为我们也可以找到一个模型就是把一个大饼分成三份自己拿两份。于是我们理解了整数、有理数。3、我们为什么能理解无理数，比如。有两种方式理解。第一就是用有理数逼近它。二是用数轴上的点来对应来理解。是那个点对应那个数的符号。注意数轴上的点对应一个实数。用实数来表示数轴上对应的点有多种形式，虽然本质上指同一个点。比如3=6/2=9/3。还有没有其他形式？ 二、问：这两者有什么不同？答：前一个是已知底数、指数求幂，后一个是已知底数、幂求指数。在中x可以求出来，x=3.那如果是，x能不能求出来？那怎办？那个数用什么表示？那个数的其中一种三、对数，这个形式也是那个使表达形式，可能还有其他表达形式。所以数轴上点3这个数还有种表达形式 同学们，做人要学会退，求不出来就不要求。就用这个符号表示那个数。退一步海阔天空，进一步山穷水尽疑无路。 四、复习且也是其中一种表达方式。数轴上有个点对应那个数，这个数可以用求不出来就不要求那个数就用因为前提是我们理解了指数是有理数，知道有理数指数幂是怎回事。 思考问题一：假设2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2000年的多少倍？答：y=a(1+8.2%)5=1.0825a是2000年的1.0825倍 思考问题二：假设2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2000年的2倍？答：a(1+8.2%)x=2ax=?1.082x=2 同学们，做人要学会退，求不出来就不要求。就用这个符号表示那个数。退一步海阔天空，进一步山穷水尽疑无路。 上升到符号：已知，求x。答：，右边是个符号，是个表达数轴上点对应的那个数的符号，可能是有理数也可能是无理数，可能求得出来也可能求不出来。求不出来就不要求，就用这个符合表示那个数。 1.对数的定义：一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数 几个结论：负数和零有没有对数，为什么？需要记忆吗？N为什么叫真数？答：只需知道特殊具体例子。因为负数和零没有对数，是假的，而N>0是真的。 2.对数的基本性质:①零和负数没有对数.②loga1=0③logaa=1 3.对数恒等式：同学们注意到了没有，这证明就像一个循环，从原点出发绕一圈又回到原来位置 4.常用对数与自然对数的定义:(1)以10为底的对数叫做常用对数.为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.(2)以e为底的对数叫做自然对数.为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.(e=2.71828…) 练习1.把下列指数式写成对数式： 练习2.把下列对数式写成指数式： 练习3.求下列各式的值： 例1、例2是干什么的？是写出一个不想继续写还是想多写几个？答：例1、例2时，就是把指数式转化为对数式、把对数式转化为指数式。我说你们有没有写出一个就不想写。如果写出一个还想写那反而不好，说明不懂。 练习4.计算下列各式的值: 例2求下列各式中x的值: 为什么叫对数？理由同上。”对“是相对、对立面、逆、反的意思。数学概念不是空中楼阁，它的根紧紧的扎在大地。一个数学概念都有它的现实模型，来自生活、生产实践。对数的现实模型是？书上找找。温馨提醒同学们，你张老师在做坏事的时候要假装看不见。做好事的时候要睁大眼睛看个清楚，因为我在为人师表。 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）.他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.二、知识铺垫对数的发明至少让天文学家的寿命延长了30年，这是为什么？ 引入：我们知道指数运算是综合了乘、除、乘方、开方运算，但这些运算比较起加、减运算显然是繁、难、抽象、不容易计算且结果巨大，比如2^64，那好有人想能不能把乘、除、乘方、开方运算转为为加、减运算？于是有人（是谁？）发明了对数。对数就可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加、减运算。大家看对数的运算性质。 如果a>0，a1，M>0，N>0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaaÎ=-=+=①、你能证明吗？从哪里开始？证明的过程中发现什么？答：从指数的运算性质开始。发现指数、对数是相对逆过程，所以证明过程中发现从原点出发，转个圈又回来，回到原来地方，这就是循环的表现。②、这对数的三条运算性质是相互独立各不相干，还是相互之间可以推导？答：⑴、⑶可以推出⑵。⑵、⑶推出⑴。⑴推出⑶。 探究你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ 换低公式有什么用？ 4、换底公式会推导吗？为什么称为换底公式？它的作用是什么?书上为了说明换底公式举了什么例子？例1、用logax,logay,logaz表示下列各式答：把底从a变成c，有利于运算。 例6、计算下列各式 例2、计算下列各式的值注：lg2+lg5=1lg2=1-lg5lg5=1-lg2灵活应用此等式 不要产生下列的错误： 再插入三个公式①、②、及其变式。③、alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)②、 有一种学习方法叫自学，但自学有个毛病就是自学时毫无头绪，就像看小说没有线索，你们看中央电视台的百家讲坛，如果自己看没意思，听他们讲就有滋有味。所以这两道应用题我们带着问题自学。看《红楼梦》也一样，毫无头绪，但又线索，这线索就是以贾宝玉、林黛玉、薛宝钗的爱情故事为线索。例5是难在数学上还是地理知识上？地震波是怎么回事？你知道地震哪些知识？我国近年来发生的一次大地震是什么？你了解这次地震吗？我的看法。对于例6，书上去推导t年后体内碳14的含量关系式的推倒方法可取不可取？我们前几节课有讲过吗？在第几页？例6书上说由计算器得，计算器你会按吗？不用计算器怎办？你知道马王堆汉墓更多的知识吗？注：用正弦、余弦图象来分析地震波。汶川大地震图片 0.56磅手榴弹爆炸1.030磅建筑爆破1.5320磅二战期间常规炸弹2.01吨二战期间常规炸弹2.54.6吨二战期间的"Cookie"巨型炸弹3.029吨2003年大型燃料空气炸弹（MOAB）3.573吨1957年前苏联车里雅宾斯克核事故4.01千吨小型原子弹4.55.1千吨常见的龙卷风5.032千吨投放在日本长崎的原子弹5.580千吨1992年美国内达华LittleSkullMtn.地震6.010万吨1994年美国内达华DoubleSpringFlat地震6.550万吨1994年Northridge地震7.0320万吨目前最大型的原子弹7.51600万吨1992年美国加利福尼亚Landers地震8.010亿吨1906年美国加利福尼亚旧金山地震8.550亿吨1964年美国阿拉斯加安克雷奇耶稣受难日地震9.0320亿吨2004年印度洋大地震10.01万亿吨美国加利福尼亚圣安德烈斯断层挤压地面 地震级数零级：无感地震，地震仪的仪表上有记录，而人尚无感觉。一级为「微震」：人体静止时或对地震有特殊敏感者，有感应。二级属于「轻震」：门窗摇动，一般人均有感觉。三级为「弱震」：房屋动摇，门窗格格有响，悬物摇摆，盛水动荡。四级为「中震」：房屋摇动甚烈，不稳定物体易倾倒或落下，盛水容器达八分满都会溅出。五级为「强震」：墙壁裂开，烟囱或牌坊都会倾倒。六级为「裂震」：房屋倾倒，山崩地裂，表层断陷。第七级时人会站立不稳，池塘出现水波。第八级则砖石墙部分破裂倒塌，树枝断落。第九级是很严重的，地下水管破裂，地面出现裂缝，小建筑物倒塌等等。第十级时水库出现裂缝、桥梁被破坏，铁路扭曲等。第十一级则地下水管及阴沟系统全被破坏。第十二级则是全面破坏，连巨石也震动移位。 例5、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； 解:(1)因此,这是一次约为里氏4.3级的地震. 例5、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 解:(2)当M=7.6时,地震的最大振幅为当M=5时,地震的最大振幅为所以,两次地震的最大振幅之比是答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍. 墓主人的历史背景马王堆汉墓是西汉初期长沙国丞相、轪侯利仓及其家属的墓葬。长沙为汉长沙国首府临湘县所在地。该墓地曾被讹传为五代十国时楚王马殷的墓地，故称马王堆；又曾被附会为长沙王刘发埋葬其母程、唐二姬的“双女”。一号汉墓出土的女尸，时逾2100多年，形体完整，全身润泽，部分关节可以活动，软结蒂组织尚有弹性，几乎与新鲜尸体相似。它既不同于木乃伊，又不同于尸腊和泥炭鞣尸。是一具特殊类型的尸体，是防腐学上的奇迹，震惊世界，吸引不少学者、游人观光。女尸经解剖后，躯体和内脏器官均陈列在一间特殊设计的地下室内（汉墓陈列馆现设在湖南省博物馆院内）。三座墓中以一号墓规模最大，墓坑南北长19.5米，东西宽达17.8米，深16米。现在一、二号墓坑已经填塞，三号墓坑经过整理加固，保存下来，并新建了大跨度的顶棚，供人们参观。大家百度百科：马王堆汉墓 例6生物机体内碳14的“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.解：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后的残留量为x，所以生物体死亡年数与每克组织中得碳14含量p有如下关系：死亡年数t碳14含量P1x2x23x3...………txt 因此，生物死亡t年后体内的碳14含量由计算器可得t≈2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.