对数与对数运算(三)

第十四讲对数与对数运算（三）【教学目标】（一）教学知识点1．了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；3．运用对数的知识解决实际问题。（二）能力训练要求会用，等变形公式进行化简．【教学重点】对数换底公式的应用．【教学难点】对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。【学习探究】一，复习引入：对数的运算法则如果a＞0，a¹1，M＞0，N＞0有：二、新授内容：1.对数换底公式：(a＞0,a¹1，m＞0,m¹1,N＞0)．证明：设N=x,则=N．两边取以m为底的对数：从而得：∴．2.两个常用的推论:①，．②（a,b＞0且均不为1）．证：①；②．三、【典型例题】1 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是(  )6用心爱心专心 A．logax＝－logaB．(logax)n＝nlogaxC．(logax)n＝logaxnD．logax＝loga答案 A例1(1)设3x＝4y＝36，求＋的值(1)由已知分别求出x和y.∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝＝，y＝＝，∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364（2）∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝＝＝＝＝.练1.已知，,用a,b表示．解：因为3=a，则,又∵7=b,∴.例2 计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)2(lg)2＋lg·lg5＋；(3)；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log556用心爱心专心 ＝2log55＝2.(2)原式＝lg(2lg＋lg5)＋＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.(3)原式＝＝＝.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log535＋2log－log5－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解 (1)原式＝log5(5×7)－2log22＋log5(52×2)－log5(2×7)＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.(2)原式＝[log2＋log62·log6(3×6)]÷log622＝log62(log62＋log63＋1)÷(2log62)＝1.例3．设，求m的值．解：∵，  ∴，即m＝9．变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m＝log416，求m；(2)已知log1227＝a，求log616的值．(1)利用换底公式，得··＝2，∴lgm＝2lg3，于是m＝9.(2)由log1227＝a，得＝a，∴lg3＝，∴＝.∴log616＝＝＝.例4．计算：①,②．6用心爱心专心 解：①原式=．②∵，，∴原式＝．例5．P67例6生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%，试推算马王堆古墓的年代.例6．已知x=，求x．分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式．解法一：由对数定义可知：．解法二：由已知移项可得，即．由对数定义知：．解法三：．.练习：教材P68第4题三、课堂小结换底公式及其推论1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．【课堂跟踪】一、选择题1．lg8＋3lg5的值为(  )                  6用心爱心专心 A．－3B．－1C．1D．3答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于(  )A.B.C.D.答案 B解析 log36＝＝＝.3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于(  )A．2B.C．4D.答案 A解析 由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，∴2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×＝2.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于(  )A.B．3C．－D．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x＝log2.51000，y＝log0.251000，则－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝.5．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2005)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于(  )A．4B．8C．16D．2loga8答案 C解析 因为f(x)＝logax，f(x1x2…x2005)＝8，所以f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋…＋logax＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2005|＝2loga|x1x2…x2005|＝2f(x1x2…x2005)＝2×8＝16.二、填空题6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________.答案 解析 lg＝lg1.8＝lg＝lg＝(lg2＋lg9－1)＝(a＋2b－1)．7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____．答案 16用心爱心专心 解析 logabcx＝＝∵logax＝2，logbx＝3，logcx＝6∴logxa＝，logxb＝，logxc＝，∴logabcx＝＝＝1.8．已知log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.答案 2解析 由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.得log6(3x)＝1.故3x＝6，x＝2.三、解答题9．求下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.方法二 原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg＋lg4＝lg＝lg10＝1.方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg22＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1.10．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.证明 设26a＝33b＝62c＝k(k>0)，那么 ∴∴＋＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝，即＋＝.6用心爱心专心