2.2对数函数2.2.1对数与对数运算
【学习目标】1.理解对数的概念.2.能够说明对数与指数的关系.3.掌握对数式与指数式的相互转化.
1.对数的概念(1)定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中a叫做对数的______，N叫做________.x＝logaN底数真数(2)常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，记作________；将以e为底的对数称为自然对数，记作________，其中e为无理数，且e＝2.71828….(3)对数与指数的关系：lgNlnNlogaN当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝________.
练习1：23＝8转化为对数式为____________；102＝100lg100＝2转化指数式为____________.2.对数logaN(a＞0，且a≠1)具有的简单性质(1)________没有对数.负数01N(2)loga1＝________(a＞0，且a≠1).(3)logaa＝________(a＞0，且a≠1).3.对数恒等式53log28＝3
【问题探究】截止1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后，人口数可达到18亿，20亿，30亿？(1)问题具有怎样的共性？(2)已知底数和幂的值，怎样求指数？例如：由1.01x＝m，求x的值.答案：(1)已知底数和幂的值，求指数．(2)x＝log1.01m.
题型1指数式与对数式互化【例1】(1)根据对数定义，把下列指数式写成对数式：
(2)根据对数定义，把下列对数式写成指数式：
指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0，a≠1)可以相互转化，但要注意在两种表示形式中a，b，N的相应位置.
【变式与拓展】C)1.下列指数式与对数式的互化，不正确的一组是(
题型2对数基本性质的应用【例2】求下列各式中x的值：
在对数、对数的底数与真数三者中，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化，求出另外一个.
【变式与拓展】2.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.12解析：∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.∴a2m＋n＝(am)2·an＝12.3.若log4[log3(log3x)]＝0，求x的值.解：∵log4[log3(log3x)]＝0，∴log3(log3x)＝40＝1.∴log3x＝31＝3.∴x＝33＝27.
题型3对数恒等式【例3】计算：思维突破：解答本题可使用对数恒等式alogaN＝N来化简求值.
要牢记对数恒等式.对于对数恒等式要注意：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数.
【变式与拓展】20B
)【例4】对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是(A.①③C.②B.②④D.①②③④①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
易错分析：对对数存在的条件及运算法则理解有误，导致出错.答案：C解析：①错误，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立；②正确，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立；③错误，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如当M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；④错误，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以只有②正确．故选C.
[方法·规律·小结]准确认识指数式与对数式的关系.(1)在关系式ax＝N中，已知a和x，求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求x的运算就是对数运算.两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.(2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称如下表：名称式子abN指数式ab＝N底数指数幂对数式logaN＝b底数对数真数(3)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39.只有符合a＞0，且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.
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