2.2对数函数2.2.1对数与对数运算
【学习目标】1.理解对数的概念.2.能够说明对数与指数的关系.3.掌握对数式与指数式的相互转化.
1.对数的概念(1)定义:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作__________,其中a叫做对数的______,N叫做________.x=logaN底数真数(2)常用对数:通常以10为底的对数叫做常用对数,记作________;将以e为底的对数称为自然对数,记作________,其中e为无理数,且e=2.71828….(3)对数与指数的关系:lgNlnNlogaN当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=________.
练习1:23=8转化为对数式为____________;102=100lg100=2转化指数式为____________.2.对数logaN(a>0,且a≠1)具有的简单性质(1)________没有对数.负数01N(2)loga1=________(a>0,且a≠1).(3)logaa=________(a>0,且a≠1).3.对数恒等式53log28=3
【问题探究】截止1999年底,我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后,人口数可达到18亿,20亿,30亿?(1)问题具有怎样的共性?(2)已知底数和幂的值,怎样求指数?例如:由1.01x=m,求x的值.答案:(1)已知底数和幂的值,求指数.(2)x=log1.01m.
题型1指数式与对数式互化【例1】(1)根据对数定义,把下列指数式写成对数式:
(2)根据对数定义,把下列对数式写成指数式:
指数式ab=N和对数式logaN=b(a>0,a≠1)可以相互转化,但要注意在两种表示形式中a,b,N的相应位置.
【变式与拓展】C)1.下列指数式与对数式的互化,不正确的一组是(
题型2对数基本性质的应用【例2】求下列各式中x的值:
在对数、对数的底数与真数三者中,已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化,求出另外一个.
【变式与拓展】2.已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n=________.12解析:∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3.∴a2m+n=(am)2·an=12.3.若log4[log3(log3x)]=0,求x的值.解:∵log4[log3(log3x)]=0,∴log3(log3x)=40=1.∴log3x=31=3.∴x=33=27.
题型3对数恒等式【例3】计算:思维突破:解答本题可使用对数恒等式alogaN=N来化简求值.
要牢记对数恒等式.对于对数恒等式要注意:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.
【变式与拓展】20B
)【例4】对于a>0,a≠1,下列说法中,正确的是(A.①③C.②B.②④D.①②③④①若M=N,则logaM=logaN;②若logaM=logaN,则M=N;③若logaM2=logaN2,则M=N;④若M=N,则logaM2=logaN2.
易错分析:对对数存在的条件及运算法则理解有误,导致出错.答案:C解析:①错误,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立;②正确,当logaM=logaN时,必有M>0,N>0,且M=N,因此M=N成立;③错误,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N,例如当M=2,N=-2时,也有logaM2=logaN2,但M≠N;④错误,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立.所以只有②正确.故选C.
[方法·规律·小结]准确认识指数式与对数式的关系.(1)在关系式ax=N中,已知a和x,求N的运算称为求幂运算;而如果已知a和N,求x的运算就是对数运算.两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算.(2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称如下表:名称式子abN指数式ab=N底数指数幂对数式logaN=b底数对数真数(3)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39.只有符合a>0,且a≠1,N>0时,才有ax=N⇔x=logaN.