35 对数与对数运算

3.5对数与对数运算3.5.1对数1.对数的定义：一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记作；（2）自然对数：以无理数为底数的对数叫做自然对数，，记作；利用对数的定义，可以得到对数与指数间有如下关系：，其中，且.这是对数式与指数式互化的依据，而对数式与指数式互化又是解决问题的重要手段.如由，可以得到，进一步可以得到.例1求下列各式中的取值范围：（1）；（2）.解：（1）由，得.所以，的取值范围是.（2）由得，且.所以，的取值范围是.2.对数的基本性质：（1）真数N为正数（负数和零没有对数）；（2）；（3）.例2（1）若，求的值；（2）若log2[log(log2x)]=0，求x的值.解:（1），，即.解得，或。10 又当时，，使得对数无意义，.（2），...3.对数恒等式：将代入，得.我们称此式为对数恒等式.如化简可以如下进行：.练习1：1.在中，实数的取值范围是（C）A.B.C.D.2.若，则的取值范围是（D）A.B.C.D.且3.使=0成立的的值为（D）A．1B．C．2D．4.化简__________.答案：23043.5.2对数的运算1.对数的运算法则如果则（1）；（2）；（3）R）.说明：（1）以上3个运算法则可以分别与以下指数的运算法则进行类比：（1）；（2）；（3）.（2）运用对数运算法则时，要注意各个字母的取值范围：，且10 .只有等式两边的对数都存在时，等式才成立.另外要注意与并不等价.如不能写成.例3计算：（1）；（2）解：（1）原式.（2）分子=；分母=.原式=.说明：这是一组很基本的对数运算的试题，数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.2.换底公式：由对数的换底公式，不难得到如下推论：（1）；（2）.利用对数的换底公式，可以把不同底的对数化成同底的对数，这是解决有关对数问题的重要方法.如化简式子可以如下进行：上式.例4（1）已知；（2）已知，，试用表示．解:（1），10 ，..（2）方法一：，.又,.方法二：，.又，，又，所以.方法提炼：运用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可.例5（1）已知求；（2）已知求（用的代数式表示）.解：（1）由，知.所以（2）,.方法提炼：①当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常见的解题技巧；10 ②对数的定义是对数式与指数式互化的依据.练习2：1.若，下列式子中正确的个数是（A）①；②；③；④.A.0B.1C.2D.32.若a>0,a≠1,且x>y>0,n∈N,则下列8个等式：①；②；③；④；⑤;⑥；⑦；⑧.其中成立的等式的个数为（B）A.3B.4C.5D.63.求下列各式的值：（1）lg-lg+lg；（2）（3）（4）答案：（1）；（2）3；（3）；（4）.3.5.3对数方程1.对数方程的定义：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.2.对数方程的类型及解法：（1）形如且的方程，可以解得；（2）形如的方程，采用比较真数法，通过.求方程的解；（3）形如的方程，可设，利用换元法解方程；10 （4）图象法.例6解下列方程：（1）；（2）.解：（1），.解得或.经检验，或都是原方程的根.（2）原方程可化为，.，.经检验，是原方程的根.例7解下列方程：（1）；（2）.解：（1）的取值范围是.等式两边取常用对数，得.整理，得.或.或.经检验，或都是原方程的根.（2）的取值范围是.等式两边取以2为底的对数，得.整理，得.或.10 或.经检验，或都是原方程的根.例8若的根为，求的值.解：可化为，所以或.由，得；由，得..例9设，，且，求的最小值.解：令.∵，，∴.由，得.∴，即.∵，∴，即，∴.∴.∵，∴当时，.例10已知为正数，且，求的范围.解:方法一：由变形，得.整理，得.由于为正数，所以，为实数.10 解之得方法二：由变形,得,整理，得.由,知,即，，或.即，或.解之得练习3：1.若log2=0，则x、y、z的大小关系是（A）A．z＜x＜yB．x＜y＜zC．y＜z＜xD．z＜y＜x2.已知集合A=，集合B=，且A=B，则x=;y=.答案：，.3.已知，求的值.答案：2习题3.5一、选择题1．若，则等于（B）A．B．C．D．2.已知且，则的值为（A）A．B．C．D．3．的值是（A）A．B．1C．D．210 4.已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa=（A）A.1－xB.1＋xC.D.x－15．已知lg2=a，lg3=b，则等于（C）A．B．C．D．6.若a=lg(1＋),b=lg(1＋)，试用a,b表示lg，其结果是（A）A.B.C.D.7.若，则的值为（B）A.B.1C.2D.48.已知的最小值是（D）A．B．C．D．二、填空题9．若,则log123=;答案：10．若logac＋logbc=0(c≠1)，则ab＋c－abc=;答案：111.若2lg=lga＋lgb,则a:b=.答案：12.若，则.答案：27三、解答题13.计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.答案：（1）；（2）29；（3）2；（4）2；（5）1；（6）2.14.已知求的值.解：，即10 ，由,有因此不可能.所以15.已知，当时，恒成立，求实数的取值范围，并求此时的最小值.解：由，得.由，得对恒成立.，整理，得，所以只有时不等式成立。.此时.当时，.16.已知满足，求的最大值和最小值.解析：，即设，则即时，取最小值；即时，取最大值2.10