§22 对数函数 221 对数与对数运算

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算 第一课时 对 数 学习目标1.理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质． 课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案 课前自主学案温故夯基1．有理指数幂的运算性质有(1)aras＝____；(2)(ab)r＝____；(3)(ar)s＝____.(其中a，b＞0，r，s∈Q)2．若a＞0且a≠1，则当x＝__时，ax＝1；当x＝__时，ax＝a.3．若2x＝2，则x＝__；若3x＝9，则x＝__；若2x＝，则x＝____.ar＋sarbrars0112－4 知新益能1．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以______________，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)指数式与对数式的关系a为底N的对数x＝logaN式子名称abN指数式ab＝N______________对数式logaN＝b_______________底数指数幂底数对数真数 2.两种特殊的对数(1)以10为底的对数叫做________，简记为_____.(2)以无理数e＝2.71828…为底数的对数叫做__________，简记为______.3．对数的基本性质设a>0，且a≠1，则(1)零和负数______对数；(2)1的对数为零，即_________；(3)底数的对数等于1，即_________.常用对数lgN自然对数lnN没有loga1＝0logaa＝1 问题探究1．(－3)2＝9能写为log(－3)9＝2吗？提示：不可以．只有符合a＞0，且a≠1且N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.2．alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)成立吗？为什么？提示：成立．此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N. 课堂互动讲练考点突破考点一指数式与对数式的互化对数式是指数式的另一种表达，求幂指数往往转化为对数；求对数值往往转化为指数幂的形式． 【思路点拨】将对数式与指数式互化，即可得解．例1 (3)由logx25＝2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.(4)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.【名师点拨】在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN. 对数要成立必须具备底数大于0且不等于1，且真数大于0，这是对数存在的基础．求下列各式中x的范围．(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．【思路点拨】注意到x既存在于底数中，又存在于真数中，解答本题结合对数的概念，应考虑其各自的要求解出x满足的条件．考点二对数的概念例2 【名师点拨】求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可． 互动探究1在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围如何？ 利用对数的基本性质对简单的对数式进行化简或求值．考点三对数基本性质的应用例3 【思路点拨】(1)(2)(3)主要利用loga1＝0，logaa＝1，(4)利用对数恒等式化简．【解】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000. 【名师点拨】有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算． 自我挑战2若loga[logb(logcx)]＝0，(a＞0，b＞0，c＞0且a≠1，b≠1，c≠1)，则x＝________.解析：logb(logcx)＝1，∴logcx＝b，∴x＝cb.答案：cb 方法感悟 失误防范1．已知含x的对数等式，确定x的值时，易忽视使其有意义的x的取值范围，也就是解对数方程不可忽视对所求x值的检验．(如例2)2．使用对数恒等式alogaN＝N化简对数式时，不要只从形式上相同就认为符合恒等式，还需使对数有意义，如(－3)log(－3)2无意义．