2.2.2对数函数及其性质（三）

对数函数及其性子〔三〕〔一〕涵养目的1．常识与技艺〔1〕了解反函数的不雅不雅点，加深对函数思维的了解.〔2〕能依照对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研讨它们的有关性子.2．进程与办法〔1〕纯熟应用对数函数的性子进展演算，经过交换，使老师学会独特窗习.〔2〕综合进步指数、对数的演算才能.〔3〕浸透应用界说、数形联合、分类探讨等数学思维.3.感情、破场、代价不雅不雅〔1〕用联络的不雅不雅念剖析、处理咨询题.〔2〕见地事物之间的互相转化.〔3〕加深对对数函数跟指数函数的性子的了解，深入老师对函数图象变更法那么的了解，培育老师数学交换才能.〔二〕涵养重点、难点重点：对数函数的特色以及函数的通性在处理有关咨询题中的灵敏应用.难点：反函数不雅不雅点的了解.〔三〕涵养办法经过对应关联与图象的对称性，了解同底的对数函数与指数函数互为反函数.〔四〕涵养进程涵养环节涵养内容师生互动计划用意温习引入1.温习函数及反函数的界说域、值域、图象之间的关联.2.指数式与对数式比拟.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.老师提咨询，老师答复.为进修新知作预备.构成反函数不雅不雅点指数函数y=ax〔x∈R〕与对数函数师：在指数函数y=2x中，x为自变量〔x∈R〕，y是x的函数〔y∈〔0， 不雅不雅点y=logax〔x∈〔0，+∞〕〕互为反函数.+∞〕〕，同时它是R上的枯燥递增函数.能够察觉，过y轴正半轴上恣意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只要一个交点.另一方面，依照指数与对数的关联，由指数式y=2x可失落失落落对数式x=log2y.如此，对于恣意一个y∈〔0，+∞〕，经过式子x=log2y，x在R中都有独一判定的值跟它对应.也确实是说，能够把y作为自变量，x作为y的函数，这时咱们就说x=log2y〔y∈〔0，+∞〕〕是函数y=2x〔x∈R〕的反函数.师：请同窗模仿上述进程，阐明对数函数y=logax〔a＞0，且a≠1〕跟指数函数y=ax〔a＞0，且a≠1〕互为反函数.生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但适应上，咱们平日用x表现自变量，y表现函数.为此，咱们常对换函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.如此，对数函数y=logax〔x∈〔0，+∞〕〕是指数函数y=ax〔x∈R〕的反函数.由上述探讨可知，对数函数y=logax〔x∈〔0，+∞〕〕是指数函数y=ax〔x∈R〕的反函数；同时，指数函数y=ax〔x∈R〕也是对数函数y=logax〔x∈〔0，+∞〕〕的反函数.因而，指数函数y=ax〔x∈R〕与对数函数y=logax〔x∈〔0，+∞〕〕互为反函数.了解反函数的不雅不雅点. 讲堂训练：求以下函数的反函数：〔1〕y=0.2－x+1；〔2〕y=loga〔4－x〕.讲堂训练谜底〔1〕；〔2〕应用举例例1曾经明晰函数y=loga〔1－ax〕〔a＞0，a≠1〕.〔1〕求函数的界说域与值域；〔2〕求函数的枯燥区间；〔3〕证实函数图象对于y=x对称.例1剖析：有对于对数函数的界说域要留意真数大年夜于0；函数的值域取决于1－ax的范畴，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；应用复合函数枯燥性的判定法求枯燥区间；函数图象对于y=x对称等价于原函数的反函数确实是自身，此题要留意对字母参数a的范畴探讨.解：〔1〕1－ax＞0，即ax＜1，∴a＞1时，界说域为〔－∞，0〕；0＜a＜1时，界说域为〔0，+∞〕.令t=1－ax，那么0＜t＜1，而y=loga〔1－ax〕=logat.∴a＞1时，值域为〔－∞，0〕；0＜a＜1时，值域为〔0，+∞〕.〔2〕∵a＞1时，t=1－ax在〔－∞，0〕上枯燥递加，y=logat对于t枯燥递增，∴y=loga〔1－ax〕在〔－∞，0〕上枯燥递加.∵0＜a＜1时，t=1－ax在〔0，+∞〕上枯燥递增，而y=logat对于t枯燥递加，∴y=loga〔1－ax〕在〔0，+∞〕上枯燥递加.〔3〕∵y=loga〔1－ax〕，进一步把持对数函数的应用. 例2曾经明晰函数f〔x〕=〔〕x〔x＞0〕跟界说在R上的奇函数g〔x〕.当x＞0时，g〔x〕=f〔x〕，试求g〔x〕的反函数.∴ay=1－ax.∴ax=1－ay，x=loga〔1－ay〕.∴反函数为y=loga〔1－ax〕，即原函数的反函数确实是自身.∴函数图象对于y=x对称.例2剖析：分段函数的反函数应留意分类探讨.因为f〔x〕为奇函数，故应思索x＞0，x＜0，x=0三种状况.解：∵g〔x〕是R上的奇函数，∴g〔－0〕=－g〔0〕，g〔0〕=0.设x＜0，那么－x＞0，∴g〔－x〕=〔〕－x.∴g〔x〕=－g〔－x〕=－〔〕－x=－2x.∴g〔x〕=当x＞0时，由y=〔〕x得0＜y＜1且x=logy，∴g－1〔x〕=logx〔0＜x＜1＝；当x=0时，由y=0，得g－1〔x〕=0〔x=0〕；当x＜0时，由y=－2x，得－1＜y＜0，且x=log2〔－y〕，∴g－1〔x〕=log2〔－x〕〔－1＜x＜0＝.综上，g〔x〕的反函数为g－1〔x〕=把持依照奇偶性求函数表白式. 例3探求函数y=log3〔x+2〕的图象与函数y=log3x的图象间的关联.例3剖析：函数的图象实际上是一系列点的靠拢，因而研讨函数y=log3〔x+2〕的图象与函数y=log3x的图象间的关联能够转化为研讨两个函数图象上对应点的坐标之间的关联.解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单元长度，就失落失落落函数y=log3〔x+2〕的图象.小结：由函数y=f〔x〕的图象失落失落落函数y=f〔x+a〕的图象的变更法那么为：当a＞0时，只要将函数y=f〔x〕的图象向左平移a个单元就可失落失落落函数y=f〔x+a〕的图象；当a＜0时，只要将函数y=f〔x〕的图象向右平移|a|个单元就可失落失落落函数y=f〔x+a〕的图象.〔2〕由函数y=f〔x〕的图象失落失落落函数y=f〔x〕+b的图象的变更法那么为：当b＞0时，只要将函数y=f〔x〕的图象向上平移b个单元就可失落失落落函数y=f〔x〕+b的图象；当b＜0时，只要将函数y=f〔x〕的图象向下平移|b|个单元就可失落失落落函数y=f〔x〕+b的图象.把持函数图象之间的变更关联归结〔1〕老师先自回忆反思，老师点评完美． 总结指数函数与对数函数互为反函数，其图象对于直线y=x对称.〔2〕求对数函数的界说域、值域、枯燥区间、及奇偶性的判建都依托于界说法、数形联合及函数自身的性子.应纯熟把持对数函数的相干性子.构成常识系统.课后功课功课：2.2第六课时习案老师独破实现波动新知晋升才能备选例题例1函数的反函数的图象经过点〔1，4〕，求的值.【剖析】依照反函数的不雅不雅点，知函数的反函数的图象经过点〔4，1〕，∴，∴.【小结】假定函数的图象经过点，那么其反函数的图象经过点.例2求函数y=log4(7+6x–x2)的枯燥区间跟值域.【剖析】思索函数的界说域，依照枯燥性的界说判定函数的枯燥区间，同时应用二次函数的全然实际求得函数的值域.【剖析】由7+6x–x2＞0，得(x–7)(x+1)＜0，解得–1＜x＜7.∴函数的界说域为{x|–1＜x＜7.设g(x)=7+6x–x2=–(x–3)2+16.可知，x＜3时g(x)为增函数，x＞3时，g(x)为减函数.因而，假定–1＜x1＜x2＜3.那么g(x1)＜g(x2)即7+6x1–x12＜7+6x2–x22，而y=log4x为增函数.∴log4(7+6x1–x12)＜log4(7+6x2–x22)，即y1＜y2. 故函数y=log4(7+6x–x2)的枯燥增区间为(–1,3)，同理可知函数y=log4(7+6x–x2)的枯燥减区间为(3,7).又g(x)=–(x–3)2+16在(–1,7)上的值域为(0,16.因而函数y=log4(7+6x–x2)的值域为(–∞,2.【小结】咱们应明晰函数的枯燥区间必需使函数有意思.因而求函数的枯燥区间时，必先求其界说域，而后在界说域内分不枯燥区间.求函数最值与求函数的值域办法是一样的，应用函数的枯燥性是常用办法之一.