对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序号是否理由(1)×真数是，不是自变量x(2)×对数式后加2(3)×真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1(4)×底数是自变量x，不是常数(5)√底数是6，真数是x答案：(5)2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质(1)图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域{x|x＞0}(2)值域{y|yR}(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0(4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)性质定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R第10页共10页 过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y＝1来切，自左到右a变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从，，，中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(  )A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，，，．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．第10页共10页 【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(  )A．log2xB．C．D．2x－2解析：因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(  )A．(0，＋∞)B．(1,9]C．(0,1)D．[9，＋∞)解析：∵0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(  )A．(5,1)B．(1,5)C．(1,1)D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简．例如：解方程loga4＝－2，则a－2＝4，由于，所以．又a＞0，所以．当然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得．【例4－1】已知f(ex)＝x，则f(5)＝(  )A．e5   B．5e   C．ln5   D．log5e解析：(方法一)令t＝ex，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt，即f(x)＝lnx．所以f(5)＝ln5．(方法二)令ex＝5，则x＝ln5，所以f(5)＝ln5．答案：C【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值．分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，∵对数函数f(x)的图象经过点，∴．∴a2＝．第10页共10页 ∴a＝．∴f(x)＝．∴f(3)＝＝－1．【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝，试求b的值．解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则它的反函数为y＝ax(a＞0，且a≠1)，由条件知a2＝9＝32，从而a＝3．于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝，解得b＝．5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)．分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．(2)要使函数有意义，则解得x＞且x≠1，所以函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则解得＜x≤1，所以函数的定义域是．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．(3)对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第10页共10页 (2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝．解：(1)∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2．∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．又y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴≥－2．∴函数y＝的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．分析：先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．令t＝log3x(x[1,3])．∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y＝b＋klogaf(x)(k，b均为常数，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点(m，b)．方程f(x)＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y＝logax(a＞0，且a≠1)函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)②函数y＝logax(a＞0，且a≠1)函数y＝logax＋b(a＞0，且a≠1)③函数y＝logax(a＞0，且a≠1)函数y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)④函数y＝logax(a＞0，且a≠1)函数y＝|logax|(a＞0，且a≠1)【例7－1】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c．又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2．∴loga(3＋b)＝0．∴b＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y＝log2x的图象，如图①；(第二步)将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象，如图②；第10页共10页 (第三步)将函数y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141．综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较，，logba，logab的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．第10页共10页 解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．∴＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．由于1＜＜b，∴0＜＜1．由logba－＝，∵a2＞b＞1，∴＞1．∴＞0，即logba＞．∴logab＞logba＞＞．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有①logaf(x)＝logag(x)f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．②形如logaf(x)＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用换元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)；(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．解：(1)由已知，得解得0＜x＜2．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x＞1时，有解得1＜x＜3；当0＜x＜1时，有解得0＜x＜．所以原不等式的解集是．【例9－2】若＜1，求a的取值范围．第10页共10页 解：∵＜1，∴－1＜＜1，即．(1)∵当a＞1时，y＝logax为增函数，∴．∴a＞，结合a＞1，可知a＞．(2)∵当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，∴．∴a＜，结合0＜a＜1，知0＜a＜．∴a的取值范围是．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y＝logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．例如：求函数y＝log2(3－2x)的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y＝log2(3－2x)是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手，并结合函数y＝log2u的单调性考虑．解：由3－2x＞0，解得函数y＝log2(3－2x)的定义域是．设u＝3－2x，x，∵u＝3－2x在上是减函数，且y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y＝log2(3－2x)在上是减函数．∴函数y＝log2(3－2x)的单调减区间是．【例10－1】求函数y＝loga(a－ax)的单调区间．解：(1)若a＞1，则函数y＝logat递增，且函数t＝a－ax递减．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＜1．∴函数y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a＜1，则函数y＝logat递减，且函数t＝a－ax递增．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1．∴函数y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．析规律判断函数y＝logaf(x)的单调性的方法 函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f(x)＝(x2－ax－a)在上是增函数，求a的取值范围．解：是函数f(x)的递增区间，说明是函数u＝x2－ax－a的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u(x)＝x2－ax－a，第10页共10页 ∵f(x)＝在上是增函数，∴u(x)在上是减函数，且u(x)＞0在上恒成立．∴即∴－1≤a≤．∴满足条件的a的取值范围是．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝(xR，a＞0，且a≠1)的奇偶性．解：∵f(－x)＋f(x)＝＝＋)＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．【例11】已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)＞0的x的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由＞0，得－1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，又由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数．(3)当a＞1时，由＞0＝loga1，得＞1，解得0＜x＜1；当0＜a＜1时，由＞0＝loga1，得0＜＜1，解得－1＜x＜0．故当a＞1时，x的取值范围是{x|0＜x＜1}；当0＜a＜1时，x的取值范围是{x|－1＜x＜0}．12．对数型函数模型的实际应用第10页共10页 地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(单位：km/s)关于燃料重量x(单位：吨)的函数关系式为y＝kln(m＋x)－kln()＋4ln2(k≠0)，其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为(－1)m吨时，火箭的最大速度是4km/s．(1)求y＝f(x)；(2)已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s，求装载的燃料重量(e＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x＝(－1)m时，y＝4，则4＝kln[m＋(－1)m]－kln()＋4ln2，解得k＝8．所以y＝8ln(m＋x)－8ln()＋4ln2，即y＝．(2)由于m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，令，解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．第10页共10页