对数函数及其性质

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：logax的系数：1特征logax的底数：常数，且是不等于1的正实数logax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．2【例1－1】函数f(x)＝(a－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．2解析：由a－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x，不是自变量x(2)×对数式后加2(3)×真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1(4)×底数是自变量x，不是常数(5)√底数是6，真数是x答案：(5)2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质(1)图象与性质a＞10＜a＜1图象(1)定义域{x|x＞0}(2)值域{y|yR}性(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)质(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1(4)当x＞1时，y＜0；当0时，y＜0＜x＜1时，y＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x解析式y＝a(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性过定点(0,1)(1,0)质单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y＝1来切，自左到右a变大．431【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，，，中取值，3510则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()431A．3，，，3510413B．3，，，3105431C．，3，，3510413D．，3，，3105解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1431的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，，，．3510答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数x指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．x【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()1A．log2xB．x2x－2C．log1xD．22x解析：因为函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：Ax【例3－2】函数f(x)＝3(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1,9]C．(0,1)D．[9，＋∞)x解析：∵0＜x≤2，∴1＜3≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(5,1)B．(1,5)C．(1,1)D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数nn式logam＝n化为指数式的形式a＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k(k＞0，且k≠1)，11nn则解得a＝k＞0．还可以直接写出am，再利用指数幂的运算性质化简m．2－2111例如：解方程loga4＝－2，则a＝4，由于4，所以a．又a＞0，所以a．当222111222211然，也可以直接写出a4，再利用指数幂的运算性质，得a4(2)2．2x【例4－1】已知f(e)＝x，则f(5)＝()5eA．eB．5C．ln5D．log5ex解析：(方法一)令t＝e，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt，即f(x)＝lnx．所以f(5)＝ln5．x(方法二)令e＝5，则x＝ln5，所以f(5)＝ln5．答案：C1【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点,2，试求f(3)的值．9分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，11121∵对数函数f(x)的图象经过点,2，∴floga2．∴a＝．99993 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11221211∴a＝．∴f(x)＝log1x．933311∴f(3)＝log13log1＝－1．3331【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝，试求b的值．2x2解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则它的反函数为y＝a(a＞0，且a≠1)，由条件知a＝91212＝3，从而a＝3．于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝，解得b＝33．25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)ylog0.5(4x3)．分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．5x4>0,4(2)要使函数有意义，则2x1>0,解得x＞且x≠1，52x11,4所以函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是,1(1，＋∞)．54x30,3(3)要使函数有意义，则解得＜x≤1，log0.5(4x3)0,43所以函数ylog0.5(4x3)的定义域是x0)或向右(b0)或向下(b0时，两函数图象相同③函数y＝logax(a＞0，且a≠1)―----------------―→函数y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)当x0时的图象关于y轴对称保留x轴上方的图象④函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------------------------------→函数y＝|logax|(a＞0，同时将x轴下方的图象作关于x轴的对称变换且a≠1)【例7－1】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c．又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2．∴loga(3＋b)＝0．∴b＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y＝log2x的图象，如图①；(第二步)将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141．综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141．2ab【例8－2】若a＞b＞a＞1，试比较loga，logb，logba，logab的大小．ba分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．a解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．ba∴loga＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．b6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2bbba由于1＜＜b，∴0＜logb＜1．由logba－logb＝logb，aaab22a∵a＞b＞1，∴＞1．b2ab∴logb＞0，即logba＞logb．baba∴logab＞logba＞logb＞loga．ab9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有①logaf(x)＝logag(x)f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．②形如logaf(x)＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用换元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)log1xlog1(4x)；77(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．x>0,解：(1)由已知，得4x>0,解得0＜x＜2．x3x,(2)当x＞1时，有2x1>0,解得1＜x＜3；3x>0,2x10,解得0＜x＜．33x>0,2所以原不等式的解集是x0