1.2.1几个常用函数的导数凤山高中廖艳芳【教学目标】1.通过导数定义归纳求导的三个步骤:求增量、算比值、取极限,使学生能应用这三个程序化的求导步骤计算出几个常用函数、、的导数;2.掌握并能运用常数y=c、y=kx、y=xn的求导公式,计算该类型函数的导数。源:学&科&网Z&【教学重点】1.几种常见函数、、的导数公式、几何意义、物理意义及应用;2.幂函数的求导公式;3.用导数求函数上某点的切线问题。【教学难点】1.在用定义法求导过程,学生对三个步骤、极限符合的理解;2.导幂函数求导公式的归纳过程。【教学过程】(一)复习引入,激发兴趣【教师引入】通过前面的学习,什么是导数?师:导数的几何意义是什么?生:是曲线在某一点处的切线斜率,师:导数的物理意义是什么?生:物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.师:那么,对于函数,如何求它的导数呢?请同学们继续回顾一下我们昨天所学的求函数的导数的一般方法。生:(1)求增量;(2)算比值;[[来源:Z.xx.k.Com](3)取极限=;
师:对于函数导数的几何意义?生:(1)是曲线上点()处的切线的斜率。(2)是曲线在处的瞬时变化率。板书:由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.【教师过渡】为解决这一问题,我们先研究几个常用函数的导数(ppt投影):①y=c;②y=x;③y=x2。(二)探究新知,感受求导“三部曲”函数导数探究1.函数的导数问题1:如何求函数y=f(x)=c的导数?根据导数定义,因为所以几何意义:表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0。物理意义:若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态。探究2.函数的导数函数导数问题2:如何求函数y=f(x)=x的导数?因为所以几何意义:表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1。物理意义:若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
探究3.函数y=kx的导数在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x,y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数。思考:(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?结论:若y=kx,则y’=k.函数导数探究4.函数的导数问题3:如何求函数y=f(x)=x2的导数?因为所以几何意义:表示函数图像(图3.2-3)上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快。物理意义:若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为。探究5.幂函数的求导公式师:请你观察上述几个式子,并大胆猜想!结论:函数导数y=y=
(三)例题教学例1:已知y=x,(1)求y’;(2)求曲线在点(4,2)处的切线方程。拓展延伸:曲线在点(2,f(2))或者点(x,3)时,如何求该点的切线方程。例2:求下列函数的导数:(1)y=e;(2)y=5x;(4)y=x73;(3)y=x3;(5)y=1x;(6)y=3x.(四)归纳小结1.函数导数2.结合导数的几何意义解决与切点的切线有关的问题.(五)布置作业1.课本P18,习题1.2A组第1题;2.画出函数y=1x的图象.根据图象,描述它的变化情况,并分别求出曲线在点(1,1)、(2,f(2))和(x,3)处的切线方程.3.预习1.2.2节