高中数学 1.2.1 函数的概念 同步练习解析

1.2.1函数的概念其他版本的例题与习题1.（苏教版)判断下列对应是否为函数：（1)x→-x,x∈R;（2)x→1,x∈R;(3)x→y,其中y=|x|,x∈R,y∈R;(4)t→s,其中,t∈R,s∈R;(5)x→y,其中=x,x∈［0,+∞］,y∈R;(6)x→y,其中y为不大于x的最大整数，x∈R,y∈Z.解：根据函数定义可以判断，(1)(2)(3)(4)(6)是函数，（5)不是函数.2.（北师大版)某山海拔7500m，海平面温度为25℃,气温是海拔高度的函数，而且高度每升高100m,气温下降0.6℃.请你用解析表达式表示出气温T随海拔高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域.解：函数解析式为T(x)=25-=25-x.函数的定义域为［0，7500］，值域为［-20，25］.3.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深1.8m，边坡的倾角是45°.(1)试用解析表达式将横断面中水面积A(单位：)表示成水深h(单位：m)的函数；（2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.解：（1)A＝（h+2)h;(2)定义域是［0,1.8］,值域是［0,6.84］;(3)图象如图1.2-1-3.备选例题与练习1.求下列函数的定义域：（1)f（x)=；（2)f（x)=+.思路分析：函数定义域是使解析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.解：（1)要使式子有意义，则有⇒x＜0且x≠-1.∴函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}. （2)要使式子有意义，则有3x+7≠0，即x≠-.∴函数的定义域为}.2.已知f（x)的定义域为［-1，3］，求f（x+1)，定义域；解：∵f（x)的定义域为［-1，3］，∴-1≤x+1≤3.∴-2≤x≤2，即f（x+1)的定义域为［-2，2］.又≤3，∴-≤x≤.∴的定义域为［-，］.3.已知函数+1,x∈R.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.解：［+1］=2-2=0;-［+1］=5-5=0;-［+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得+1=f(x).∴对任意x∈R,总有f(x)=f(-x).课外拓展求函数的值域函数值域就是所有函数值的集合.函数y=f(x),x∈A的值域是集合}.值域是由函数的定义域和对应关系决定的，因而解题中要明确函数的定义域和对应关系.求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后，值域就确定了，但求值域要注意方法，常用的方法有：1.观察法通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或者利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法.例1求下列函数的值域：(1)y=；(2)y=.解：(1)∵≥0,∴+5≥5， ∴y≥.∴函数的值域为.(2)由≠0，得y≠0.∴y=的值域为.2.配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数型值域的方法求函数的值域，这就是配方法.例2求-x+1的值域.解：∵-x+1=≥，∴-x+1的值域为.点评：形如(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法，需注意定义域.3.判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.形如y=（a，m中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式法.但要注意以下三个问题：一是检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或使函数无意义，都应从值域中去掉该值；二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在；三是分子、分母必须为既约分式.例3求函数y=的值域.解：原函数可变形为+2(y+1)x+3(y-1)=0.当y≠1时，关于x的方程有解的条件是Δ≥0，解得2-≤y≤2+(y≠1).当y=1时，解得x=0，方程有解.∴原函数的值域为［2-,2+］.点评：使用判别式法求函数值域，关键是“关于x的二次方程有解”.本题将函数变形为+2(y+1)x+3(y-1)=0的形式，问题转化为关于x的方程+2(y+1)x+3(y-1)=0有解.例4已知函数f(x)=的值域为［1,3］，求a，b的值.思路分析：给出函数的值域求解参数时，通常将函数化成以x为未知数的方程形式，首先考虑二次项系数为0时，是否满足条件；其次，二次项系数不为0时，二次方程恒有解，此时利用Δ≥0求解. 解：y=，∵x∈R，∴-ax+y-b=0.当y-2=0时，满足题意；当y-2≠0时，∵x∈R，∴Δ≥0，即-4(y-2)(y-b)≥0，整理得≤0.∵1≤y≤3，∴1，3是方程=0的两根，由此可解得a=±2，b=2.4.换元法通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.形如y=ax+b±的形式，可用换元法，即设t=，转化成二次函数再求值域（注意t≥0).例5求函数y=2x+的值域.思路分析：将整体换元，问题转化为熟知的求二次函数值域问题.注意判断换元后“新元”的取值范围.解：令=t(t≥0)，则+t+2=-+≤，所以函数的值域为.点评：换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见、简单的表达式.换元多用于处理可化简为二次函数的问题.需要注意的是，在换元后，新变量的定义范围.例6已知函数f(x)的值域是，求g(x)=f(x)-2的值域.解：因为f(x)∈，所以∈，设=t∈，所以-1∈［-1,0］，所以函数g(x)的值域为［-1,0］.点评：（1)换元法是一种常用的数学变换方法，换元后一定要先求出新变元的取值范围；（2)求二次函数在给定区间上的值域时，宜采用数形结合的方法，即画出二次函数在给定区间上的图象，结合图象观察值域.5.分离常数法 形如y=(ac≠0,ad≠bc)的函数，一般先分离常数，再利用反比例函数求值域.变形过程为==+，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数值域.例7求y=的值域.解：y==1-，而-x+1=+≥，即0