1.2.1函数的概念（2）从容说课函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有深刻理解函数概念，才能正确灵活地加以应用.本节通过训练求不同函数的定义域，使学生认识到函数的定义域的重要性，通过对抽象符号f（x）（即x在对应关系f下对应f（x））的理解和使用，使学生认识到符号f（x）本身就是三要素构成的整体.通过判断两个函数是否相同，进一步体现三要素整体的作用.从而进一步揭示函数的内涵，使函数概念在更高层次上再现，也使学生对函数概念的理解进一步深化.函数概念在高中阶段处于核心知识地位，和今后函数性质的研究，特殊函数的研究有密切联系，在教学过程中，应注意建立各种联系，从而给学生良好的知识结构.三维目标一、知识与技能1.继续理解函数的概念和记号以及与函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念.2.掌握两个函数是同一函数的条件.3.会求简单函数的定义域和值域.二、过程与方法1.通过对函数概念的学习，初步探索客观世界中各种运动与数量间的相互依赖关系.2.使学生掌握求函数式的值的方法.明确f（a）与f（x）的区别与联系.3.逐步培养并提高批判思维能力、自我调控能力、交流与合作能力.三、情感态度与价值观1.使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点.2.使学生学会全面地观察问题、分析问题、研究问题.教学重点符号“y=f（x）”的含义，函数定义域与值域的求法.教学难点符号“y=f（x）”的含义.教具准备多媒体、课时讲义.教学过程一、复习回顾师：上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义域是怎样的?它有几个要素?分别是什么?生：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.师：函数的定义域由什么确定?生：函数的定义域由数学运算规律决定，即函数的定义域是使函数的表达式有意义的自变量的集合.
师：同学们对上节课的内容掌握得很好.二、讲解新课本节课我们将继续探讨函数的定义，在函数的定义中，符号y=f（x）即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式.y=f（x）仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也不一定是解析式.在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x）、F（x）、G（x）等符号来表示.对于一个函数y=f（x），必须指出的是f（x）与f（a）既有区别又有联系，f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个常量.而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值.例如一次函数f（x）=3x+4，当x=8时，f（8）=3×8+4=28是一常数.当y=f（x）用数学式子表示时，如果需要把x、y看作并列的未知量或点的坐标，那么y=f（x）也可以看作是一个方程.例如，二次函数y=x2，在需要时，也可以看作是一条抛物线的方程.【例1】教科书P20例1.本例的教学任务：（1）学会求简单函数的定义域.在中学阶段，所研究的函数通常是能够用解析式表示的.如果未加特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量的允许范围.（2）对用解析式表示的函数，会由给定的自变量与函数的解析式计算函数值.（3）进一步体会函数记号的含义，能区别f（－3）、f（a）、f（x）.【例2】已知f（x）=（x∈R且x≠－1），g（x）=x2+2（x∈R）.（1）求f（2）、g（2）的值；（2）求f［g（2）］的值；（3）求f［g（x）］的解析式.方法引导：第（1）小题即求x=2时，f（x）、g（x）的函数的值；第（2）小题，即求x=g（2）时，f（x）的函数；第（3）小题实际上为第（2）小题更一般的推广，解题方法类同于第（2）题.解：（1）f（2）==，g（2）=22+2=6.（2）f［g（2）］=f（6）==.（3）f［g（x）］=f（x2+2）==.方法技巧：在解本题时，要正确理解对应关系“f”和“g”的含义，在求f［g（x）］时，一般遵循先里后外的原则.必要时还得考察函数的定义域.请思考：已知函数f（x），那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f
（4）+f（）=?【例3】教科书P21例2.本例的教学任务：（1）通过判断函数的相等认识到函数的整体性.值得注意的是，在三个要素中，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系完全一致，这两个函数就相等.（2）进一步加深学生对函数概念的理解.【例4】设函数f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H（x）=f（x2+1）；（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）.方法引导：已知函数f（x）的定义域为［a，b］，求f［g（x）］的定义域，是指求满足a≤g（x）≤b的x的取值范围.解：（1）∵f（x）的定义域为［0，1］，∴f（x2+1）的定义域满足0≤x2+1≤1.∴－1≤x2≤0.∴x=0.∴函数的定义域为｛0｝.（2）由题意，得得则①当1－m＜m，即m＞时，无解；②当1－m=m，即m=时，x=m=；③当1－m＞m＞0，即0＜m＜时，m≤x≤1－m.综上所述，当0＜m≤时，G（x）的定义域为{x|m≤x≤1－m}.【例5】一个圆柱形容容器的底面直径为d厘米，高度为h厘米，现以每秒S立方厘米的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与注入时间t（秒）的函数关系式及其定义域.方法引导：本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的式子表示出来，建立变量之间的函数关系.由实际问题确定的函数的定义域除使函数有意义外，还要符合实际问题的要求.解：依题意，容器内溶液每秒升高（厘米）.于是y=·t；又注满容器所需时间为h÷（）=（秒）.
故函数的定义域是［0，］.【例6】求下列函数的值域：（1）y=2x+1，x∈｛1，2，3，4，5｝；（2）y=+1；（3）y=；（4）y=－x2－2x+3（－5≤x≤－2）.方法引导：由值域即所有函数值的集合可知，求函数的值域可看作求出所有函数值的问题，可由定义域逐步推出函数值的集合就是值域.求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y=f（x），其值域就是指集合C={y|y=f（x），x∈A}；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据.求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域.求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律，求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用.解：（1）将x=1，2，3，4，5分别代入y=2x+1计算得函数的值域为｛3，5，7，9，11｝.（2）∵≥0，∴+1≥1，即所求函数的值域为［1，+∞］.（3）∵y==－1+，∵函数的定义域为R，∴x2+1≥1.∴0＜≤2.∴y∈（－1，1］.∴所求函数的值域为（－1，1］.（4）∵y=－x2－2x+3=－（x+1）2+4，又∵－5≤x≤－2，∴－4≤x+1≤－1.∴1≤（x+1）2≤16.∴－12≤4－（x+1）2≤3.∴函数的值域为［－12，3］.三、课堂练习1.教科书P22练习题2.答案：（1）不相等.因为前者的定义域为{t|0≤t≤100}，而后者的定义域为R.（2）不相等.因为前者的定义域为R，而后者的定义域为{x|x≠0}.2.教科书P22练习题3.解答：（1）f（2）=28，f（－2）=－28，f（2）+f（－2）=0.（2）f（a）=3a3+2a，f（－a）=－（3a3+2a），f（a）+f（－a）=0.（3）f（x）+f（－x）=0.四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：（1）符号“y=f（x）”的含义；（2）两个函数相等的判别；（3）函数定义域与值域的求法.2.本节学习的数学方法：定义法、代入法、换元法、方程的思想与分类讨论的思想、数学建模.五、布置作业教科书P28习题1.2A组2，3，4，6，8.B组1.板书设计1.2.1函数的概念（2）符号“y=f（x）”的含义例1例2例3例4例5例6课堂练习课堂小结
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