1.2.1极坐标系的概念

新课标人教版课件系列《高中数学》选修4－4 1.极坐标系的概念 1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。教学目标 目标在哪？在以…为X轴以…为Y轴，坐标是...算的太慢了！ 以天河路为X轴以广州大道为Y轴...请问：去广州塔怎么走？ 痴线！以天河路为X轴以广州大道为Y轴... 以天河路为X轴以广州大道为Y轴... 从这向东2000米。请问：去广州塔怎么走？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO极坐标系的四要素？ 二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。 题组一：说出下图中各点的极坐标 ①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？极点（0，）（R）即极点有无数个极坐标。 三、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同，也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角。 题组二：在极坐标系里描出下列各点 ABCDEFGOX 本节课总结：[1]极坐标系的建立需确定几条？极点；极径；长度单位和角度正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种。是因为极角引起的。[3]一点的极坐标有否统一的表达式？有。 四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（-3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3 四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？有比较才能有鉴别！把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？ 四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPMOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（-3，/4） 四、5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以说成旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。 练习：写出下列各点的负极径的极坐标（3，/4）答：（-3，+/4）（-3，-/4）（3，-/4） 负极径总结：极径是负的，等于极角增加。负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”特别强调：以后不特别声明，0。因为，负极径只在极少数情况用。 五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径用“-3” 五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPMOXMP[1]首先，给定极坐标M（，）在平面上可以确定唯一的一点。[2]反过来，给定平面上一点，却有无数个极坐标。原因：极径有正有负；极角有无数个。但是，有统一表达式两个。 如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ） 极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点的直角坐标是(1,)思考:这个点如何用极坐标表示? Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位点M的直角坐标为θ设点M的极坐标为(ρ,θ)M(2,∏/3) 极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ 互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同. 例1.将点M的极坐标化成直角坐标.解:所以,点M的直角坐标为 已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。 例2.将点M的直角坐标化成极坐标.解:因为点在第三象限,所以因此,点M的极坐标为 练习:已知点的直角坐标,求它们的极坐标. 例3已知两点（2，），（3，）求两点间的距离.π3π2oxAB解：∠AOB=π6用余弦定理求AB的长即可. 极坐标下两点间距离公式A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）|AB|=? 极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ 9页