1.2.1几个常见函数的导数

§1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式1学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2x11f(x)＝xf′(x)＝－x21f(x)＝f′(x)＝x知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝exf′(x)＝ex1f(x)＝logaxf′(x)＝xlna(a>0且a≠1)1f(x)＝lnxf′(x)＝x 11．若y＝，则y′＝2×2＝1.(×)2．若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．(×)133．f(x)＝x3，则f′(x)＝－x4.(√)类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数．π1x2x(1)y＝sin6；(2)y＝2x；(3)y＝lgx；(4)y＝x；(5)y＝2cos22－1.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数解(1)y′＝0.111(2)y′＝2xln2＝－2xln2.1(3)y′＝xln10.x2(4)∵y＝x＝，33∴y′＝()′＝2＝2.x(5)∵y＝2cos22－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思与感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．15－4如y＝x4可以写成y＝x，y＝x3可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x3，则f′(－3)等于()A．81B．2431C．－243D．－272(2)已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝0，则x0＝. 考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案(1)D(2)1－3解析(1)因为f(x)＝x，3－4所以f′(x)＝－3x＝－x4，1所以f′(－3)＝－错误!＝－27.(2)因为f(x)＝lnx(x>0)，1所以f′(x)＝x，12所以f′(x0)＝x0＝0，所以x0＝1.类型二利用导数公式研究切线问题1例2已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用1x＝1，解由，得y＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．1两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝2，g′(1)＝－1.1易得两切线方程分别为y－1＝2(x－1)，y－1＝－(x－1)，11即y＝2x＋2与y＝－x＋2.其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，13所以两切线与x轴所围成的三角形面积为2×1×|2－(－1)|＝2.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决． 跟踪训练2已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用1答案e解析设切点坐标为(x0，y0)，1由题意得＝x0＝k，①又y0＝kx0，②而且y0＝lnx0，③1由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝e.例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用2解设切点坐标为(x0，x0)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝2，1∴切点坐标为4，2∴所求的最短距离d＝－2＝8.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.1．下列函数求导运算正确的个数为()112①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝xln2；③错误!＝x；④若y＝x2，则＝－27.A．1B．2C．3D．4考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案C解析①中(3x)′＝3xln3，②③④均正确．2．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B2解析设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x0＝1，3∴x0＝±3.故斜率等于1的切线有2条．3．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案11解析f′(x)＝2x，g′(x)＝x，1f′(x)－g′(x)＝1，即2x－x＝1，1解得x＝1或－2.因为x>0，所以x＝1.4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1，e)e解析设切点坐标为(x0，y0)， 切线的斜率为＝，y0－0则＝x0－0，①又y0＝，②由①②可得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.15．求过曲线y＝sinx上一点P2且与在该点处的切线垂直的直线方程．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用1解曲线y＝sinx在点P2处切线的斜率π3k＝＝cos6＝2，3则与切线垂直的直线的斜率为－3，13π∴所求直线方程为y－2＝－36，即12x＋18y－2π－9＝0.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．xx如求y＝1－2sin22的导数．因为y＝1－2sin22＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列各式中正确的个数是()113523①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③x′＝－2x－2；④(x2)′＝5x－5；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3B．4C．5D．6考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案B解析∵②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos2)′＝0.∴②⑥不正确，故选B.2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案A解析∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.53．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为()55A.23B.232515C.523D.1023考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B14解析∵s′＝5t－5.∴当t＝4时，155s′＝5·44＝23.14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于2的点为()A.3B.3或3C.3(k∈Z)D.3或3(k∈Z)考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D11π解析设斜率等于2的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵＝cosx0＝2，∴x0＝2kπ＋3或π2kπ－3， 33∴y0＝2或－2.15．直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案C1解析∵y＝lnx的导数y′＝x，11∴令x＝2，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln2)．1代入直线y＝2x＋b，得b＝ln2－1.6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.1因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝x>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()11A.nB.n＋1nC.n＋1D．1考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案B解析对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．n令y＝0，得xn＝n＋1， 123n－1n1∴x1·x2·…·xn＝2×3×4×…×n×n＋1＝n＋1，故选B.二、填空题8．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案641解析∵y＝，∴y′＝－2，1∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－2，1∴切线方程为y－＝－2(x－a)．3令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝3a，∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为139S＝2·3a·2＝4＝18，∴a＝64.19．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝x(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1,1)解析y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k01＝e＝1.11设P(m，n)，y＝x(x>0)的导数为y′＝－x2(x>0)，11曲线y＝x(x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－m2(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．10．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用 答案411解析∵y′＝x，∴切线方程为y－＝a(x－a)，a令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝－a，1a由题意知2·2·a＝2，∴a＝4.11．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝.考点正弦、余弦函数的导数题点正弦、余弦函数的运算法则答案cosx解析由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.12．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用π3π答案4∪，π解析∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，π3π∴－1≤kl≤1，∴α∈4∪，π.三、解答题13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(xxx0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e)′＝e，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 2利用点到直线的距离公式得最小距离为2.四、探究与拓展214．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案2122解析∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，11∴ak＋1＝2ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝2的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.15．求证：双曲线xy＝a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用证明设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．a2a2∵y′＝x′＝－x2.2∴过点P的切线方程为y－y0＝－0(x－x0)．2a2令x＝0，得y＝x0；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12a2S＝2·x0·|2x20|＝2a.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.