第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1.下列四种说法中,不正确的是( )A.在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素[答案] B2.f(x)=+的定义域是( )A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.RD.[-1,1)∪(1,+∞)[答案] D[解析] 解得故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),选D.3.各个图形中,不可能是函数y=f(x)的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x轴的直线与函数y=f(x)的图象至多有一个交点,故选A.4.(2015·曲阜二中月考试题)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数是( )A.fx→y=x B.fx→y=xC.fx→y=xD.fx→y=[答案] C[解析] 对于选项C,当x=4时,y=>2不合题意.故选C.5.下列各组函数相同的是( )A.f(x)=与g(x)=x+1B.f(x)=与g(x)=x·
C.f(x)=2x+1与g(x)=D.f(x)=|x2-1|与g(t)=[答案] D[解析] 对于A.f(x)的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定义域是R,定义域不同,故不是相同函数;对于B.f(x)=|x|·,g(x)=x·的对应法则不同;对于C,f(x)的定义域为R与g(x)的定义域是{x|x≠0},定义域不同,故不是相同函数;对于D.f(x)=|x2-1|,g(t)=|t2-1|,定义域与对应关系都相同,故是相同函数,故选D.6.函数y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数有( )A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上[答案] C[解析] 当a在f(x)定义域内时,有一个交点,否则无交点.二、填空题7.已知函数f(x)=,又知f(t)=6,则t=________.[答案] -[解析] f(t)==6.∴t=-8.用区间表示下列数集:(1){x|x≥1}=________;(2){x|2<x≤4}=________;(3){x|x>-1且x≠2}=________.[答案] (1)[1,+∞) (2)(2,4] (3)(-1,2)∪(2,+∞)三、解答题9.求下列函数的定义域,并用区间表示:(1)y=-;(2)y=.[分析] ⇒⇒[解析] (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1,
即函数定义域为{x|x≤1且x≠-1}=(-∞,-1)∪(-1,1].(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足,解得x≤5,且x≠±3,即函数定义域为{x|x≤5,且x≠±3}=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].[规律总结] 定义域的求法:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合;(3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合.(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视.10.已知函数f(x)=+.(1)求函数的定义域;(2)求f(-3),f()的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.[解析] (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3},使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠-2},所以这个函数的定义域是{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3,且x≠-2}.(2)f(-3)=+=-1;f()=+=+=+.(3)因为a>0,故f(a),f(a-1)有意义.f(a)=+;f(a-1)=+=+.能力提升一、选择题1.给出下列从A到B的对应:
①A=N,B={0,1},对应关系是:A中的元素除以2所得的余数②A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2③A={0,1,2},B={0,1,},对应关系是f:x→y=其中表示从集合A到集合B的函数有( )个.( )A.1 B.2C.3 D.0[答案] B[解析] 由于③中,0这个元素在B中无对应元素,故不是函数,因此选B.2.(2012·高考安徽卷)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x[答案] C[解析] f(x)=kx与f(x)=k|x|均满足:f(2x)=2f(x)得:A,B,D满足条件.3.(2014~2015惠安中学月考试题)A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A、C、D的值域都不是[1,2],故选B.4.(2015·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-1,+∞)B.[-1,)C.(-1,)D.(-∞,)[答案] B
二、填空题5.若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围是________.[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⇒1<a<2.6.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是________;其中只与x的一个值对应的y值的范围是________.[答案] [-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5][解析] 观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].三、解答题7.求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=;(3)y=-+.[解析] (1)要使函数有意义,需⇔⇔x≤1且x≠0,所以函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,1].(2)由得∴x<0且x≠-1,∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}.(3)要使函数有意义,需解得-≤x<2且x≠0,所以函数y=-+的定义域为[-,0)∪(0,2).[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为:(1)列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组);(2)解这个不等式组;(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域.
8.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f=-f(x).[解析] (1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f==,-f(x)=-=,∴f=-f(x).