1.2.1几个常用函数的导数

英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源§1.2.1几个常用函数的导数【学习目标】1．掌握几个用函数的导数，理解公式的证明过程．2．会利用导数的定义求一些函数的导数．【学习重点】用定义推导常用函数的导数公式．【学习难点】几个常用函数的导数公式的推导．【课堂过程】一、复习引入：1．导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2．导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为．3．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝．所以函数在处的导数也记作．导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数在点学习方法报社第4页共4页 英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源处的导数就是导函数在点的函数值．4．可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导．5．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立．函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．6．求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数＝．二、讲解新课：1．(C为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数的图象是平行于轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．证明：=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0∴=0，=C′==0，∴=0．2．证明：====．3．证明：，．4．证明：，．学习方法报社第4页共4页 英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源5．证明：．三、讲解范例：例1求(1)(x3)′(2)()′解：略例2质点运动方程是,求质点在时的速度．解：∵ ，∴ ,∴．答：质点在时的速度是．四、课堂练习：1．(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos答案：(1)y′=(x5)′=5x4；(2)y′=(x6)′=6x5；(3)x′=(sint)′=cost；(4)u′=(cos)′=－sin2．求下列函数的导数：(1)y=(2)y=答案：(1)y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4(23．质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度．解：v=s′=(t3)′=3t3－1=3t2当t=3时，v=3×32=27m/s，∴质点在t=3时的速度为27m/s4．物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2，(s单位m，t单位s，g=9．8m/s2)，求t学习方法报社第4页共4页 英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源=3时的速度．解：v=s′(t)=(gt2)′=g·2t2－1=gt．t=3时，v=g·3=9．8·3=29．4m/s，∴t=3时的速度为29．4m/s．5．求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程．解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3．∴y′|x=2=4·23=32∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0．五、课后作业：略学习方法报社第4页共4页