1.2.1函数的概念【双向目标】课程目标学科素养A.了解构成函数的要素，会求一些简单函a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合数的定义域和值域；了解映射的概念．的方法B.在实际情境中，会根据不同的需要选择b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法表示函数．转化为列举法时的运算C.了解简单的分段函数，并能简单应用d直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示(函数分段不超过三段)．e数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼基础过关知识1：函数的概念1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按的打“√”，错误的打“×”)照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()2一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它(2)函数y＝()与y＝是同一个函数．()对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一(3)定义域与值域均相同的两个函数是相等个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变函数．()量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值(4)分段函数不是一个函数，而是多个函相对应的y值叫做函数值,其集合{f(x)|x∈A}叫做数．()函数的值域．(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，知识2:函数的表示方法其对应是从A到B的映射．()(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间x12.函数f(x)＝lnx－1＋x2的定义域为的对应关系的方法．()(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)关系的方法．C．(0，1)D．(0，1)∪(1，＋∞)(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的x，x≥0，3.设f(x)＝2x，x＜0，则f(f(－2))等对应关系的方法．于()知识3：构成函数的三要素1(1)函数的三要素是：定义域、对应关系、值域；A．－1B.41
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，1C.2并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．3D.2知识4：分段函数4.(2015全国卷Ⅱ)设函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也1＋log2（2－x），x1，所以f(log212)＝2＝2＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.【答案】C35.【解析】由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.故填－2.【答案】－2．32322226.【解析】因为f(x)－f(a)＝x＋3x－a－3a，(x－b)(x－a)＝(x－b)(x－2ax＋a)＝3222x－(2a＋b)x＋(a＋2ab)x－ab，a2＋2ab＝0，所以－a3－3a2＝－a2b，解得a＝－2，b＝1.【答案】－2；1.【能力素养】探究一求函数的定义域函数定义域即自变量的取值范围，是研究函数的首要考虑因素。x2－5x＋6例1．函数f(x)＝＋lgx－3的定义域为()A．(2，3)B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4]D．(－1，3)∪(3，6]【分析】确定函数的定义域首先根据所给的函数解析式特点（即包含的运算）来建立不等式，求解；【答案】C【点评】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．3
【变式训练】21．函数f(x)＝log2(x＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2【解析】要使函数有意义，只需x＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．【答案】D2.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．2x+2ax-a2【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2－1≥0对x∈R恒成立，则x＋2ax－a≥0恒成立．2因此有Δ＝(2a)＋4a≤0，解得－1≤a≤0.故填[－1，0]．【答案】[－1，0]f（x＋1）3.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2019]，则函数g(x)＝x－1的定义域是________．1≤x＋1≤2019，【解析】因为y＝f(x)的定义域为[1，2019]，所以g(x)有意义，应满足x－1≠0.所以0≤x≤2018，且x≠1.因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2018，且x≠1}．故填{x|0≤x≤2018，且x≠1}．【答案】{x|0≤x≤2018，且x≠1}．探究二求函数的值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．例2：求下列函数的值域：1－x2(1)y＝1＋x2；(2)y＝2x＋；(3)y＝2x＋；x2－2x＋52222(4)y＝x－1；(5)若x，y满足3x＋2y＝6x，求函数z＝x＋y的值域；(6)f(x)＝－.2(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，所以x＝1－t，4
11722所以y＝2(1－t)＋t＝－2t＋t＋2＝－24＋8.1717因为t≥0，所以y≤8，故函数的值域为8.2(3)(三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ)5.因为0≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1,故函数的值域为[－2，]．x2－2x＋5（x－1）2＋44(4)解法一：(不等式法)因为y＝x－1＝x－1＝(x－1)＋x－1，又因为x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，4所以当x>1时，y＝(x－1)＋x－1≥2＝4，且当x＝3，等号成立；4当x0，所以t>1.
1111(3)在f(x)＝2fx·－1中，用x代替x，得fx＝2f(x)·x－1，121由－1，得f(x)＝3＋3.211212【答案】(1)lgx－1(x>1)(2)2x＋2x(x∈R)(3)3＋3【点评】求函数解析式的四种常见方法1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．3．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．14.消去法：已知f(x)与fx或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式训练】1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.222【解析】(换元法)令＋1＝t，则x＝(t－1)(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)＋2(t－1)＝t－1，22所以f(x)＝x－1(x≥1)．故填x－1(x≥1)．2【答案】x－1(x≥1)2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.【解析】(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2xa＝2，a＝2，＋17对任意实数x都成立，所以5a＋b＝17解得b＝7.所以f(x)＝2x＋7.故填2x＋7.【答案】2x＋7.1123.已知fx＝x＋x2，则f(x)＝________.111122【解析】(配凑法)fx＝x＋x2＝x2－2＝x－2，所以f(x)＝x－2(|x|≥2)．
2故填x－2(|x|≥2)．2【答案】x－2(|x|≥2)．14．已知f(x)满足2f(x)＋fx＝3x，则f(x)＝________.11331【解析】以x代替x得2fx＋f(x)＝x，由，得f(x)＝2x－x(x≠0)．1【答案】2x－x(x≠0)探究四分段函数分段函数是高考的热点，考查方向主要是：（1）．根据分段函数的解析式求函数值；（2）．已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)。2－x，x1，所以a≤0，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.【答案】A3＋log2（x－1），x＞0，8.已知函数f(x)＝x2－x－1，x≤0，若f(a)＝5，则a的取值集合为()A．{－2，3，5}B．{－2，3}C．{－2，5}D．{3，5}2【解析】令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a－a－1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．或由2f(－2)＝(－2)－(－2)－1＝5，f(3)＝3＋log22＝4，f(5)＝3＋log24＝5，所以排除A，B，D.故选C.【答案】Cc9．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16
c【解析】因为组装第A件产品用时15分钟，所以A＝15，①所以必有4
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