1．2.1　对应、映射和函数

高中数学·必修1·湘教版1.2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数 [学习目标]1．能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象；2．会判断给出的对应是否是映射；3．能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域；4．能说出函数的三要素．预习导学 [预习导引]1．映射(1)在数学里，把集合到集合的说成是映射．(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.预习导学确定性的对应任何一个唯一 (3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的，记作y＝f(x)，x叫作y的．2．函数(1)函数就是的映射．(2)函数的定义：设A，B是两个非空的．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．预习导学定义域原象象数集到数集数集唯一的数y (3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的，与x∈A对应的数y叫作x的，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的．(4)函数的三要素：①；②；③.预习导学定义域象值域对应法则定义域值域 课堂讲义 解(1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射．(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射．(3)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射．课堂讲义 规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．课堂讲义 课堂讲义 解(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素．(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空的数集．课堂讲义 要点二 映射的象与原象例2已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2＋2x.(1)求A中元素－1和3的象；(2)求B中元素0和3的原象；(3)B中的哪一些元素没有原象？课堂讲义 解(1)令x＝－1得y＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，令x＝3得y＝32＋2×3＝15，所以－1的象是－1,3的象是15.(2)令x2＋2x＝0，解得x＝0或－2，所以0的原象是0或－2.令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，所以3的原象是1或－3.(3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．课堂讲义 规律方法1.解答此类问题的关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则；2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．课堂讲义 课堂讲义 课堂讲义 要点三 映射的个数问题例3已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？课堂讲义 规律方法1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个，从B到A的映射有nm个．2．对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)．课堂讲义 跟踪演练3(1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？(2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映射f的个数．课堂讲义 课堂讲义 课堂讲义 答案B课堂讲义 规律方法判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序是：(1)将原式等价转化为用x表示的形式；(2)看x的取值集合是否为∅，若是∅，则不是函数，若不是∅，再看x与y的对应关系；(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应．若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数．课堂讲义 另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数．课堂讲义 答案D解析由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有D项正确.课堂讲义 答案C当堂检测 解析①中c没有与之对应的元素，不是映射；④中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.当堂检测 2．对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的选项是()A．A中的元素在B中一定有象B．B中的元素在A中可能没有原象C．集合A中的元素与B中的元素一一对应D．设A＝B＝R，那么y＝x2是A到B的一个映射答案C解析在A到B的映射中，A中的元素与B中元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.当堂检测 答案C当堂检测 答案A当堂检测 5．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有________个．答案4当堂检测 1．映射的定义(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系．(2)映射有三种对应关系：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”．根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以．当堂检测 (3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合．2．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到唯一确定的值y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．当堂检测 3．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义. 再见