人教版高中数学必修1.2.1 函数的概念 课件ppt

第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念 1．形如f(x)＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线．例如：已知f(x)＝2x＋1，当x＝2时y＝____；当y＝9时x＝____.2．形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线．54新知预习 例如：已知f(x)＝x2＋2x＋3，函数值为6时，相对应的自变量的值为______________．3．一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集合B的一个函数．x＝1或x＝－3新知预习 记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．例如：正方形边长为x，与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：____________；该函数的定义域为________；值域为________；当边长为4的时候，面积为________；当面积为4的时候，相应的边长为________．答案：y＝x2；{x|x＞0}；y|y＞0}；16；2 4．习惯上将集合{x|1＜x＜3}写成区间形式：(1,3)，区间分为：“开区间、闭区间、半开半闭区间”．例如：将下列集合写成区间形式：①{x|－1＜x＜3}；②{x|x≥0}；③{x|－1＜x≤3}．答案：①(－1,3)；②[0，＋∞)；③(－1,3] 5．要使下列各式有意义，其中x的值限制条件是什么？答案：①x≠1；②x≥1；③x∈R；④x≠1；⑤x＞1 6．函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 例1：下列各组函数中，表示同一函数的是() 解析：A.定义域不同；B.定义域不同；C.虽然自变量所用字母不同，但两个函数的定义域和对应法则都分别相同，因此是同一个函数；D.对应法则不同．答案：C 1．怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；(2)根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值．思考应用 2．函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？解析：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．思考应用 3．如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a，b]的区别？解析：区间[a，b]一定是无限集，且隐含a＜b，集合{x|a≤x≤b}中对实数，a，b大小关系无限制条件．当a＝b时，{x|a≤x≤b}＝{a}是单元素集：当a＞b时，{x|a≤x≤b}＝∅，这两种情况均不能用区间[a，b]表示．思考应用 1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是()D自测试题 2．在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()解析：只有B选项中函数的定义域与对应法则是相同的．答案：B自测试题 3．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f()＝________；f[f()]＝________.自测试题 例1、下列对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.典例精析 解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；典例精析 (3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．典例精析 1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是()跟踪训练 解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．答案：D跟踪训练 例2、已知f(x)＝x2－6x.(1)求f(2)，f(a＋1)的值；(2)若f(x)＝－5，求x的值．解析：(1)f(2)＝22－6×2＝－8，f(a＋1)＝(a＋1)2－6(a＋1)＝a2－4a－5.(2)f(x)＝x2－6x＝－5⇒x＝1或x＝5.典例精析 2．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求：(1)f(2)、g(2)的值；(2)f[g(2)]的值；(3)f[g(x)]的解析式．分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x即可求解．跟踪训练 跟踪训练 例3、求下列函数的定义域：解析：(1)要使函数有意义，自变量x须满足：解得：－1≤x≤1.典例精析∴函数的定义域为[－1,1]． 故函数的定义域为[1,3]．(3)使f(x)有意义应满足x∈R，故函数的定义域为(－∞，＋∞)．典例精析 1．“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”．2．函数符合“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，f(x)是一个数，而不是f乘x.3．构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域．4．函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其它字母，这是函数抽象的重要原因．课堂小结 5．函数的定义域包含三种形式：(1)自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等)；(2)限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； (3)实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义．6．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学目前只要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题如二次函数．7．定义域习惯上用区间表示． 本节内容结束