高中数学 1.2.1 函数的概念同步练习解析 人教版必修

1.2.1函数的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法中正确的个数为(  )①y是x的函数；②对于不同的x，y值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．A．0   B．1   C．2   D．3【解析】 ①③正确；②不正确；如f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)．【答案】 C2．函数y＝＋的定义域为(  )A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【解析】 由题意可知解得0≤x≤1.【答案】 D3．下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是(  )A．(0,5)∪(10，＋∞)B．[0,5)∪(10，＋∞)C．(5,0]∪[10，＋∞)D．[0,5]∪(10，＋∞)【解析】 根据区间的定义可知数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}可以用区间[0,5)∪(10，＋∞)表示．故选B.【答案】 B4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(  )A．1B．0C．－1D．2【解析】 f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．【答案】 A5．下列四组函数中表示同一函数的是(  )A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝＋【解析】 ∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f()＝________.【解析】 ∵f(x)＝x2＋x＋1，∴f()＝()2＋＋1＝3＋.【答案】 3＋7．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.【解析】 由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞)8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．【解析】 由题意知即解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．【答案】 (0,2)三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)y＝＋；(2)y＝.【解】 (1)由已知得∴∴－≤x≤，∴函数的定义域为.(2)由|x＋2|－1≠0，得|x＋2|≠1，即x≠－1，且x≠－3，∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．【解】 (1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)－f(－x)＝0.证明如下：∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴对任意x∈R，总有f(x)－f(－x)＝0.[能力提升]1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(  )A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝【解析】 对于选项A，若x＝5，则y＝±2，不满足函数定义中的唯一性．【答案】 A2．已知f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，即f(175)＝________.【解析】 ∵f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，∴f(5)＋f(7)＝f(35)，∴m＋n＝f(35)，把y＝35代入得f(5)＋f(35)＝f(175)，∴m＋m＋n＝f(175)，即2m＋n＝f(175)，∴f(175)＝2m＋n.【答案】 2m＋n3．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________．【解析】 由得解得0≤x≤.【答案】 4．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)求证：f(x)＋f是定值；(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2016)＋f的值. 【解】 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1.(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.∴f(x)＋f是定值，且为1.(3)由(2)知f(x)＋f＝1，∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2016)＋f＝1.∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2016)＋f＝2015.