新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 课件

第二课时 函数的最大(小)值 [目标导航]课标要求1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数的最大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最值问题中的应用.素养达成通过利用函数的单调性求函数最值,培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养;通过数形结合求函数最值,培养学生直观想象的核心素养. 新知导学·素养养成1.最大值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)M;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最点的坐标.思考1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.≤f(x0)=M高纵 2.最小值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足;①对于任意的x∈I,都有f(x)M;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最点的坐标.思考2:已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?答案:如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).≥f(x0)=M低纵 思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在.(3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素. 名师点津关于函数最值的说明(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点. 课堂探究·素养提升 (2)求函数f(x)在[1,4]上的最值. 方法技巧利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写出函数的最值. (2)求f(x)在区间[2,5]上的最值. ②求函数f(x)在[3,5]上的值域. ②对于①中的函数在区间A上的值域是[4,5],求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点);③若①中的函数的定义域是[2,+∞),解不等式f(a2-a)≥f(2a+4). 解:作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0. 方法技巧(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)的一个.(2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值. 即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数f(x)的单调区间; 解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x≥0)且y=x-1(x