新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 教案

课题：§1.3.1函数的最大(小)值教学目的：(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义；(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？(1)/(兀)=—2兀+3(2)f(x)——2x4-3xe［—1,2］(3)/(x)=x2+2x4-1(4)f{x)=x~+2^+1xe［-2,2］二、新课教学(一)函数最大(小)值定义1.最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：(1)对于任意的xe/,都有f(x)WM：(2)存在xoe/,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y二f(x)的最小值(MinimumValue)的定义.(学生活动)注意：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在xoe/,使得f(x0)=M：②函数最大(小)应该是所有函数值屮最大(小)的，即对于任意的xEA都有f(x)WM(f(x)MM).2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值②利用图象求函数的最大(小)值③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y二f(x)在x二b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y二f(x)在x二b处有最小值f(b)；(二)典型例题例1.(教材P36例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.解：(略)说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值.巩固练习：如图，把截面半径为厂一25cm的圆形木头锯成矩形木料，/\如果矩形一边长为x,面积为y/X\ 试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图彖，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2.（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（％）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.设y为旅馆一天的客房总收入，•为与房价160相比降低的房价，因此当房价为X（160-x）元时，住房率为（55+話・10）%,于是得Xy=150・(160—x)・(55+—-10)%.X由于（55+—・10）%W1,可知0W.W90.20因此问题转化为：当0W.W90时，求y的最大值的问题.将y的两边同除以一个常数0.75,得y］=-o2+50+17600.由于二次函数y］在.二25时取得最大值，可知y也在匸25时取得最大值，此时房价定位应是160-25=135（元），相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75（元）.所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）2例3.（教材P37例4）求函数y=在区间［2,6］上的最大值和最小值.x-\解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式.巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值作差f变形f定号下结论四、作业布置1.书面作业：课本P45习题1.3（A组）第6、7、8题.提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h,己知AC=150km,经过多少时间后，快艇和轮船Z间的距离最短？辨析程序框图中的易错题例1画出计算S=1x22+2x3CBvA13x2」I…I10x2"的值的程序框图. 错解：程序框图如图1所示.「丿「•始J图1图2辨析：上图中，5=zx2/+,对所计算的•值无法实现累加.正解：程序框图如图2所示.例2有位同学为了求1x2x3x4x---x30的值，画出了一个程序框图，如图3所示，请你指出其中的错误，并画出正确的程序框图.辨 第一处误是在二个处理框内应是“PT”,而不是=第二处错误是判断框中应是“i>29”，而不是r>30”，正确的程序框图如图4所示.r*—2上x2例3求函数）u的值的算法流程图如图5所示，指出流程图中的错误,-2,x2或兀vO（舍去）.故当输入的x>2时，输出的函数值才是正数.问题2：要使输出的函数值为8,则x2-2x=S,:.x=4或x=-2（舍去）.故输入的值应为4.问题3：当兀上2时，y=x2-2x=(x-l)2-1,ymin=-1,兀v2H寸，y=—2,又・・・-2v-1,故要使输出的•值最小，只要输入的•满足xv2就行了.