学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。单调性与最大小值教学设计本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计 .3.1 单调性与最大值 第1课时 整体设计 教学目标 ．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 重点难点 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明． 教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 教学方法 教师启发讲授，学生探究学习．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 教学手段 计算机、投影仪． 教学过程 创设情境，引入课题 课前布置任务： 由于某种原因，XX年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事． 下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图． 图1 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：当天的最高温度、最低温度以及何时达到； 在某时刻的温度； 某些时段温度升高，某些时段温度降低．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣． 归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义． ．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 图2 预案：函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小． 函数y＝x2在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． 函数y＝1x在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 引导学生进行分类描述，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？ 预案：如果函数f在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f在该区间上为增函数；如果函数f在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f在该区间上为减函数． 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识 问题1：下图是函数y＝x＋2x的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 图3 学生的困难是难以确定分界点的确切位置． 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究． 【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 问题2：如何从解析式的角度说明f＝x2在[0，＋∞)为增函数？ 预案：在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f＝x2在[0，＋∞)为增函数． 仿，取很多组验证均满足，所以f＝x2在[0，＋∞)为增函数． 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因为x12－x22＝＜0，即x12＜x22， 所以f＝x2在[0，＋∞)为增函数． 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2. 【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫． 3．抽象思维，形成概念 问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？ 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． 板书定义 巩固概念团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 判断题： ①已知f＝1x，因为f＜f，所以函数f是增函数． ②若函数f满足f＜f，则函数f在区间[2,3]上为增函数． ③若函数f在区间上均为增函数，则函数f在区间上为增函数． ④因为函数f＝1x在区间和上都是减函数，所以f＝1x在∪上是减函数． 通过判断题，强调三点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域，可以是定义域内某个区间，也可以根本不单调． ③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增函数，一般不能认为函数在A∪B上是增函数． 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？ 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识． 掌握证法，适当延展 【例】证明函数f＝x＋2x在上是增函数． ．分析解决问题团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取x1，x2∈，且x1＜x2，设元 f－f＝x1＋2x1－x2＋2x2求差 ＝＋2x1－2x2 ＝＋2x1x2＝1－2x1x2＝x1x2－2x1x2，变形 ∵2＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f－f＜0，即f＜f，断号 ∴函数f＝x＋2x在上是增函数．定论 2．归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数f＝x在[0，＋∞)上是增函数． 问题：要证明函数f在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x1，x2∈，且x1≠x2有f－fx2－x1＞0可以吗？ 引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f＝x在[0，＋∞)上是增函数． 【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔． 归纳小结，提高认识团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． ．小结 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业 书面作业：课本习题1.3 A组第1,2,3题． 课后探究： 证明：函数f在区间上是增函数当且仅当对任意的x，x＋h∈，且h≠0有f－fh＞0. 研究函数y＝x＋1x的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 设计说明 ．教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点． 2．教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成． 3．教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识． 4．教学过程的设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入． 在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤． 可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔． 第2课时 作者：方诚心 整体设计 教学目标 ．知识与技能 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用． 启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题． 2．过程与方法 通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育． 探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确． 3．情感、态度与价值观 理性描述生活中的最大、最多等现象． 重点难点 教学重点：函数最大值的定义和求法．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 教学难点：如何求一个具体函数的最值． 教学过程 导入新课 思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址，新厂址的长为xm，则宽为10000xm，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？ 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y＝2x＋10000x，x＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题． 思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f＝－x＋3；②f＝－x＋3，x∈[－1,2]； ③f＝x2＋2x＋1；④f＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]． 学生回答后，教师引出课题：函数的最值． 推进新课 新知探究团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 提出问题 如图4所示是函数y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f的图象．观察这三个图象的共同特征． 图4 函数图象上任意点P的坐标与函数有什么关系？ 你是怎样理解函数图象最高点的？ 问题中，在函数y＝f的图象上任取一点A，如图5所示，设点c的坐标为，谁能用数学符号解释：函数y＝f的图象有最高点c? 图5 在数学中，形如问题中函数y＝f的图象上最高点c的纵坐标就称为函数y＝f的最大值．谁能给出函数最大值的定义？ 函数最大值的定义中f≤m即f≤f，这个不等式反映了函数y＝f的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ 函数最大值的几何意义是什么？ 函数y＝－2x＋1，x∈有最大值吗？为什么？ 点是不是函数y＝－2x＋1，x∈的最高点？ 由问题你发现了什么值得注意的地方？团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 讨论结果：函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f的图象有最高点c.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点． 函数图象上任意点P的坐标的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小． 图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． 由于点c是函数y＝f图象上的最高点，则点A在点c的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f≤f，也就是对函数y＝f的定义域内任意x，均有f≤f成立． 一般地，设函数y＝f的定义域为I，如果存在实数m满足： ①对于任意的x∈I，都有f≤m； ②存在x0∈I，使得f＝m. 那么，称m是函数y＝f的最大值． f≤m反映了函数y＝f的所有函数值不大于实数m；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是m. 函数图象上最高点的纵坐标． 函数y＝－2x＋1，x∈没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈的图象没有最高点． 不是，因为该函数的定义域中没有－1. 讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 提出问题 类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义. 类比上面问题，你认为讨论函数最小值应注意什么？ 活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值． 讨论结果：函数最小值的定义是： 一般地，设函数y＝f的定义域为I，如果存在实数m满足： ①对于任意的x∈I，都有f≥m； ②存在x0∈I，使得f＝m. 那么，称m是函数y＝f的最小值． 函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标． 讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点． 应用示例 例1求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y＝2x－1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的． 解：设2≤x1＜x2≤6，则有 f－f＝2x1－1－2x2－1＝2[－]＝2. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，＞0. ∴f＞f，即函数y＝2x－1在区间[2,6]上是减函数． ∴当x＝2时，函数y＝2x－1在区间[2,6]上取得最大值f＝2； 当x＝6时，函数y＝2x－1在区间[2,6]上取得最小值f＝25. 变式训练 ．求函数y＝x2－2x的最大值和最小值． 解：最大值是f＝15，最小值是f＝－1. 2．函数f＝x4＋2x2－1的最小值是__________． 解析：转化为求二次函数的最小值． 设x2＝t，y＝t2＋2t－1， 又当t≥0时，函数y＝t2＋2t－1是增函数， 则当t＝0时，函数y＝t2＋2t－1取最小值－1.团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 所以函数f＝x4＋2x2－1的最小值是－1. 答案：－1 3．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间． 解：函数图象如图6所示． 图6 由图象得，函数的图象在区间和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和上是下降的，最高点是， 故函数在，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，上是减函数，最大值是4. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题． 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y＝f在区间上单调递减，则函数y＝f在x＝b处有最大值f；②如果函数y＝f在区间上单调递增，则函数y＝f在x＝b处有最小值f.团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？ 活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少”就是函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；转化为求函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此时自变量t的值． 解：作出函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示， 图7 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 当t＝－14.72×＝1.5时，函数有最大值h＝4××18－14.724×≈29. 即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m. 点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论． 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合． 变式训练 ．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 A．323cm2 B．4cm2 c．32cm2 D．23cm2 解析：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为cm，两个三角形的面积和为S，则S＝34x2＋342＝322＋23≥23.当x＝2时，S取最小值23cm2.故选D. 答案：D 2．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答．利润＝×销售量． 解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝[60－•10] ＝－10[2－16]＝－102＋160， 当且仅当x＝12时，y有最大值160元， 即售价定为12元时可获最大利润160元. 知能训练 课本本节练习5. 【补充练习】 某厂XX年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量x万件与去年促销费m满足x＝3－2m＋1.已知XX年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍． 将XX年该产品的利润y万元表示为年促销费m的函数； 求XX年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？ 分析：年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；利用单调法求函数的最大值． 解：每件产品的成本为8＋16xx元，故XX年的利润为团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 y＝1.5×8＋16xx×x－＝4＋8x－m＝4＋83－2m＋1－m＝28－16m＋1－m． 可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－16m＋1－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－16m＋1－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－16m＋1－m取最大值21万元． 拓展提升 问题：求函数y＝1x2＋x＋1的最大值． 解：利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示， 故图象最高点是－12，43. 图8 则函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43. 函数的定义域是R， 可以证明当x＜－12时，函数y＝1x2＋x＋1是增函数； 当x≥－12时，函数y＝1x2＋x＋1是减函数． 则当x＝－12时，函数y＝1x2＋x＋1取最大值43， 即函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43. 函数的定义域是R， 由y＝1x2＋x＋1，得yx2＋yx＋y－1＝0. ∵x∈R，∴关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有实数根． 当y＝0时，关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0无实数根，即y＝0不属于函数的值域．团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 当y≠0时，则关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程， 则有Δ＝2－4×y≥0.∴0＜y≤43. ∴函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43. 点评：方法三称为判别式法，形如函数y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f，当函数的定义域是R时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0，得关于y的不等式，解不等式组n2－4mk≥0，m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值． 课堂小结 本节课学习了：函数的最值；求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；求函数最值时，要注意函数的定义域． 作业 课本习题1.3A组 5,6. 设计感想 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 ．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入． 2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤． 备课资料 基本初等函数的最值 ．正比例函数：y＝kx在定义域R上不存在最值．在闭区间[a，b]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f＝kb，最小值为f＝ka；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f＝ka，最小值为f＝kb. 2．反比例函数：y＝kx在定义域∪上不存在最值．在闭区间[a，b]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f＝ka，最小值为f＝kb；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f＝kb，最小值为f＝ka. 3．一次函数：y＝kx＋b在定义域R上不存在最值．在闭区间[m，n]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx＋b的最大值为f＝kn＋b，最小值为f＝km＋b；当k＜0时，函数y＝kx＋b的最大值为f＝km＋b，最小值为f＝kn＋b. 4．二次函数：y＝ax2＋bx＋c： 当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值f－b2a＝－b2＋4ac4a，无最大值；团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
学生会成立以来，学生会搞了一系列的活动，而且都取得了较好的成绩。通过各部的相互努力，我们获得了不少经验。 当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值f－b2a＝－b2＋4ac4a，无最小值． 二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况： 若－b2a＜p，则f在区间[p，q]上是增函数，则fmin＝f，fmax＝f． 若p≤－b2a≤q，则fmin＝f－b2a，此时f的最大值视对称轴与区间端点的远近而定： ①当p≤－b2a＜p＋q2时，则fmax＝f； ②当p＋q2＝－b2a时，则fmax＝f＝f； ③当p＋q2＜－b2a＜q时，则fmax＝f． 若－b2a≥q，则f在区间[p，q]上是减函数，则fmin＝f，fmax＝f． 由此可见，当－b2a∈[p，q]时，二次函数f＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q]上的最大值是f和f中的最大值，最小值是f－b2a；当－b2a[p，q]时，二次函数f＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q]上的最大值是f和f中的最大值，最小值是f和f中的最小值． 团结创新，尽现丰富多彩的课余生活1。庆祝##系成立之时，我们学生会举办了一次“邀明月，共成长，师生同欢”茶话会。职教系部分老师和我系全体教师以及各班班委参加了此茶话会。
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