第二节 函数的单调性与最大(小)值
1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔_______________；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔________________．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)
2．单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_________或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的__________．增函数减函数单调区间
3．函数的最值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M
1．如图2－2－1所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．
2．对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0则能否确定f(x)在D上的单调性？
1．(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【答案】C
【解析】结合函数的图象易知选D.【答案】D
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．【解析】由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)
【审题视点】(1)根据复合函数的单调性求解．(2)用定义法或导数法求解．
【尝试解答】(1)由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数．t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)的递减区间为(－∞，－1)．
当a＞0时，f′(x)＜0；当a＜0时，f′(x)＞0.∴当a＞0时，f(x)在(－1，1)上为减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上为增函数．
1．解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调区间．2．函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法．3．函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
∴当x1，x2∈(－∞，－1]时，x1＋x2＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数在(－∞，－1]上是减函数．当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，故函数在[1，＋∞)上是增函数.
(2013·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为()A．4B．5C．6D．7【思路点拨】明确f(x)的意义，数形结合求f(x)的最大值．
【尝试解答】如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．【答案】C
求函数最值(值域)的常用方法1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．5．换元法：用换元法时一定要注意新变元的范围．
定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】依题意，当－2≤x≤1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，∴f(x)＝1×x－2＝x－2，且f(x)在[－2，1]上为增函数，
【答案】C
【思路点拨】分a≥0和a＜0两种情况讨论．
1．已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．2．不等式m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max，m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.
此时实数a，b是方程x2－x＋1＝0的两根，但方程x2－x＋1＝0无实根，因此不存在满足条件的实数a，b.
1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．函数单调性的判定方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)利用图象与性质．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．
函数的单调性与最值是高考考查的重点内容，主要涉及单调性的判断，求函数的单调区间与最值，函数单调性的应用；考查数形结合、转化与化归等数学思想，其中利用函数的单调性解不等式应引起高度重视．
(12分)(2013·深圳调研)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.【规范解答】(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0，当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.···········2分f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，·············4分∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数.·····················6分规范解答之一 利用函数的单调性解不等式
(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，······8分f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，··········································10分∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3，2).·························12分
【解题程序】第一步：设x1＜x2得x2－x1＞0，从而f(x2－x1)＞1；第二步：根据x2＝(x2－x1)＋x1证明f(x2)－f(x1)＞0，从而证明单调性；第三步：求f(1)、f(2)；第四步：把不等式转化为f(M)＜f(N)的形式；第五步：根据单调性去掉“f”，解不等式．
(2)求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(M)＜f(N)的形式，然后再根据函数f(x)的单调性去掉“f”，此时应注意M、N应在定义域内取值．
【答案】A
【答案】3
课后作业（六）
终于懂得 没有人会无条件爱你一生一世 他们总是爱你这样或者那样 绝不仅仅 单纯的爱你 这样一个女人 所以 如果一个男人不爱你的钱 只爱你的身体 那么 你已经可以为自己的幸运 烧香拜佛了 还有什么是真爱呢 真正的爱情 年少时站在校园里期待的那种爱情 早已 在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重 缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了 我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸 院子里，操场上 充满了甜甜的空气 离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起 或永远祝福你 离别的时候 每一句话都显得那么悲伤 离别时的感动在顷刻间爆发 我们，我们，我们 独自沉浸在自己的感伤中 渐渐的平息……离别的时候 每一句话都显得那么珍贵 仔细的听著那熟悉的声音 把每种都印刻在记忆里 望著他们远去的背影，我知道，我们离别了 我们带著共同的回忆和永远的祝福 各自奔向远方……轻轻哼一首离别的歌～ 眼里噙满了泪……重逢 重逢的时候 那是心情的又一次触动 惊喜的表情 熟悉的面庞 回忆中的甜蜜 一瞬间在脑海中隐现 于是，永远成为了所谓的缘分的代表 重逢…惊喜…重逢的时候 那是思念的又一次宣泄 深情的一个拥抱 紧紧的一个握手 彼此的心轻鬆了许多 才发现思念是一种病 重逢…思念……重逢的时候 那是记忆的又一次翻新 彼此回忆著孩提时的美好 诉说着自己的苦恼 谈论着朋友的生活 讲述着自己无奈的过往 重逢…记忆…重逢的时候 那是时间的又一次停滞 那一刻，时间终于停了 自己终于可以放假 感动的身体一时瘫在那里 重逢时的感动告诉了时光老人 时间不能改变的东西……重逢…感动…重逢的时候，那是一阵欣喜，一阵感动 欣喜之余还有一丝的忧伤 因为我们毕竟还要赶路 那么多线终有相交的一点 可是相交以后注定还要分别 但是，至少我明白 暂时的离别是为了再次相聚时的感动……
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