新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 导学案

§2.2函数的单调性与戢人（小）值 §2.2函数的单调性与最大（小）值 小易全活牛刀小试的是(A.C.2,a+1—(2d+1)=2,即a=—2,所以么=士2•故选C.下列区间中，两数f(x)=\\n(2-x)|在其上为增两数)的是(A.(—00,1]D.[1,2)•••”=2卄1+oo)上单调递增,“w(o,X>(b故填(一8,1]・典例解析I分类孵折叙类旁逋类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013•重庆模拟)求下列函数的单调考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其儿何意义.2.学握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.考点梳理|多思劫笔夯实基础1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数的定义域为/：①如杲对于定义域I内某个区间D上的自变量的值七，兀2，当X10（%e［2,+oo））恒成立.一良2，_fa0,一1］和［0,1］；单调减区间为［一1,0］和［1,4-00）.②由?-3x+2>0,得左2或疋1,设”二%2—3兀+2,贝ij）=l—当%e（—oo,"为减函数,当呻2,+oo）时，"为增函数,而n>0时，y=1—y［ii为减函数.・・・〉，=1—寸H_3x+2的单调増区间为（一co,1］,单调减区间为［2,4-00）.®y'=3“一3=3（x+1）（x~1）,令_yz>0,得x>\或x1>所以血）一几如0,解得一40.假设符合条件的。存在.当a>\时，由复合断数的单调性知，只需u=ax2~x在［2, =（"+兀2）（刃一七）心一七X\X2因为1VX]VX2，X|—X22,解：设u=xl—ax+3a>0，且函数"在［歩+oo）上是单调Im=x2-«x+3c/>0（%e［2,+oo））恒成立.一良2，_fa0,一1］和［0,1］；单调减区间为［一1,0］和［1,4-00）.②由?-3x+2>0,得左2或疋1,设”二%2—3兀+2,贝ij）=l—当%e（—oo,"为减函数,当呻2,+oo）时，"为增函数,而n>0时，y=1—y［ii为减函数.・・・〉，=1—寸H_3x+2的单调増区间为（一co,1］,单调减区间为［2,4-00）.®y'=3“一3=3（x+1）（x~1）,令_yz>0,得x>\或x1>所以血）一几如0,解得一40.假设符合条件的。存在.当a>\时，由复合断数的单调性知，只需u=ax2~x在［2, 4］上是单调增函数，所以。满足{亦2'lu=ax2~x>0在［2,4］上恒成立.丿扫’1即解得。>扌，于是。>1;I"皿="(2)=4a~2>0.当05V1时，山复合函数的单调性知，只需u=ax2-x在［2,4］上是单调减函数,>>4,所以a满足］2。lu=cix2-x>0在［2,4］上恒成立.〔丄>4即乎旷解得d".l"min=“(4)=16°—4>0,综上，当a丘(1，+8)时，函数XA)=log“(a/—X)在区间［2,4］上是单调增函数.类型三抽象函数的单调性乂*/A>0时，/ft)0,X2)即・心1)勺>2)，・g)在R上为减函数.(2)・・7U)在R上是减函数，・\/U)在［一3,3］上也是减函数,•\/W在［一3,3］上的最大值和最小值分别为人一3)与用).而X3)=3Al)=-2,y(_3)=-A3)=2.•\/W在［一3,3］上的最大值为2,最小值为一2.【评析】对于抽彖函数也调性的判断仍然要紧扌II单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意心，疋在所给区间内比较几⑴一沧2)与0的大小，岭册-与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形：如Xi=X7+xx—X2或石=兀2严“2等・另外，深挖已知条件，也是求解此类题的关键.(2013•南昌模拟VU)的定义域为(0,+oo),□对一切x>0,y>0都冇=f(x)~f(y).当x>\Ht，、+3>0,・・・0,解得00.则Ax,)-Ax2)!-x2+x2)-J{X2)=/Ul_尤2)+/(七)~f(X2)=/U|-X2)•(2)判断於)的单调性并证明;(3)若几6)=1,解不等式几卄3)—(f)V2.解：(1曲)=/0)=心)一心)=0,x>0.(2VU)在(0,+8)上是增函数.证明：设01,••点)>。即/(兀)在(0,+oo)上是增函数.(3)・・刃6)=(普)=/(36)-/(6),又人6)=1,•••/(36)=2,原不等式化为：A^+3x)0,4a=-6.故填一6.8.(2012•山东)若函数几r)=/(d0,殍1)在［一1,2］上的最人值为4,最小值为皿11*1数g(x)=(l—在［0，十力)上f(—1)=4,解:若则(⑵Ff-=4,a~4'即|d解得$,1“2=加,,n=T716・•・g(Q=(1—少令)&=|\斤在[0,+00)上是増函数,了⑵=4,If(―1)=m,意.若a>l,则d2=4f即41解得满足题a=2,1・°・g(x)m=y=(1_4痔)&=_五在［0,上知，a=鲁.故填扌.+□0)上是减函数，不合题意.综9•已知a>b>0,〃?>0・b+x⑴判断函数几丫)=禹〒在区间(0,+oo)内的单调性;⑵证明不等蛙徐•s“…、b+xa+x+(b—a)a~b解:⑴5)=寸一忌一=1-右乂y=—芽#在(一弘+8)内为増函数，a+x••JW在(0,+oo)内为增函数.(2)证明：•••曲⑴知爪)在(一“，+oo)内为増函数,•••当Q=0,Xz=m时，X]0且好1).证明：任取兀2$(0，十8)，J=LX\