《名师伴你行》人教A版学桉八 单调性与最大(小)值

开始 学点一学点二学点三学点四学点五 1.一般地,设函数f(x)的定义域为I:(1)如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1,x2,当x10，即f(x1)0,∴(x2-x1)(+x2x1+)>0,即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.返回 学点三利用图象求函数单调区间【分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间.由图象知函数的单调区间为(-∞,-3］,［-3,3］,［3,+∞).其中单调减区间为(-∞,-3］,单调增区间为［3,+∞),常函数区间为［-3,3］.图象如图所示.【解析】原函数可化为f(x)=|x-3|+|x+3|-2x,x≤-3,6,-33.返回 【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.显然函数的增区间为［x2,x3］,［x4,x5］,减区间为［x1,x2］,［x3,x4］,［x5,x6］.（2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象如下图所示：返回 求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间.“脱去”绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象观察得出.当x≥0时，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当xf(a-1)+f(9),即f(a)>f［9(a-1)］,返回 【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性“脱号”.（2）“脱号”时莫忘定义域对自变量的限制.由单调函数的概念得解得1f(1-2m).由f(x)是(-2,2)上的减函数可得解得-1,∴0,∴f(x)在区间［1,+∞)上为增函数,∴f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为f(1)=.(2)在区间［1,+∞)上,f(x)=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立.设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞),则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增.∴当x=1时,ymin=3+a,于是,当且仅当ymin=3+a＞0时,函数f(x)＞0恒成立,故a＞-3.返回 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间［0,2］上的最值.由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为x∈［0,2］,(1)当0≤a≤2时，f(x)min=f(a)=-a2-1.①当0≤a≤1时，f(x)max=f(2)=22-4a-1=3-4a；②当10;三是同属于一个单调区间.1.在函数单调性中应注意什么问题？返回 2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明.证明函数单调性的步骤：第一步：任意取值x1,x2(在某单调区间I上)，且x10时，函数y=1f(x)与y=f(x)的单调性相反.对于f(x)0),x∈［m,n］的最值问题，若当t∈［m,n］,x=t时，有最小值s，最大值是f(m),f(n)中较大者；若t［m,n］，则f(m),f(n)中较小者是最小值，较大者是最大值.当a