1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）一、教学目标1．知识与技能：(1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤2．过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力3．情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法：教师启发讲授五、教学基本流程：从实际问题引入函数的单调性通过函数图像，直观认识函数的单调性通过图表，用自然语言描述用数学符号语言描述单调性由图像判断函数的单调区间利用定义证明函数单调性练习、反馈、巩固归纳小结六、教学过程：7/7
1．创设情境（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因。（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。2．探究新知（1）观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数和二次函数，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数的图像是上升的；而二次函数的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。（PPT展示）：函数图像的这种“上升”、“下降”的变化规律，我们称之为函数的单调性。（过渡性语言）7/7
我们研究数学的过程通常可以分为观察感知——定量分析——逻辑证明这三个步骤，刚才我们已经从图像感知到函数“上升”、“下降”的性质。下面，我们接着进一步分析，用数据说明问题。（2）定量分析，理性思考（自然语言描述）1>观察下面的表格，描述二次函数随x增大函数值的变化特征（PPT展示）：x……-4-3-2-101234……f(x)……16941014916……2>引导学生用自然语言描述函数图像特征：下降在区间上，随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小；上升在区间上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。（3）自然语言——数学符号语言（只分析“上升”）1>P28思考：如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小”、“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”10“随着x的增大”——“任取两个x1、x2”（学生可能会省略“任取”）20“相应的f(x)反而随着减小”——“f（x1）对于“任取”二次函数的图像，满足f(-2)学生明确“任取”的重要性（完善）（4）给出定义实际上，某个函数f(x)在区间D上是“上升”的，我们称之为在区间D上的增函数。例如，二次函数在上是增函数。7/7
下面，我们给出增函数更一般的定义。一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；同样地，对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。那么，从定义可知，在R上是增函数；在区间上是减函数，而在区间上增函数。（5）解剖分析1>几何特征：增函数的图像是呈上升的趋势；而减函数是呈下降的趋势。2>函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部的性质(局部性)。有些函数在整个定义域上是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。例如，函数在区间上是减函数，而在区间上增函数，但在R上却没有单调性。3>x1，x2的任意性判断：定义在R上的函数f(x)满足f(-2)f(0)，则函数f(x)在区间7/7
上是增函数。（×）3．巩固反思例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还减函数？（1）我们一起来看看这个图像，从左往右看，这个图像是先下降，再上升，再下降，最后上升。因此，这个函数在4个区间上具有单调性，它们的单调区间分别是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5]。（2）有三个问题想问问同学们：1>函数在x=-2这个点单调性是如何的？（函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。）2>函数在区间[-5,2)和区间[1,3)是单调减的，那么我们可以说函数在[-5,2)∪[1,3)上是单调减的吗？（函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。(反比例函数，不能用定义证明是增函数)）3>函数的单调区间可以分为[-5,2],[-2,1],[1,3],[3,5]吗？（在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。）例2判断函数f(x)=3x+2在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。7/7
从例1知道，我们要判断函数的单调性，我们可以通过图像观察，下面我们一起来看看函数f(x)=3x+2的图像。从图像可以看出，函数呈上升的趋势，那么它应该是在R上的增函数。下面我们一起来根据定义证明我们的结论。证明：设任意的，且，则由，得 于是，即。 所以，在R上是增函数。小结：利用定义证明函数单调性的步骤：①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1本题的证明是分段证明的，对于不连续的定义域区间一般要求分段去证明2>本题的结论是说在区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别都是减函数，切不可说函数在整个定义域上为减函数4．小结归纳与作业布置（1）小结归纳：教师通过提出下列问题让学生思考：①增（减）函数有什么特点？（增函数的图像是呈上升的趋势，而减函数的图像是下降的；增（减）函数的定义，这里，我们需要注意的是函数单调性是一个局部的性质，是对于定义域的某个区间而言的，同时，具有单调性的函数，任意的两个都满足随自变量的增大，函数值也随之增大（减小））②如何根据图像指出单调区间？（通过观察图像的“上升”、“下降”趋势，可以判断函数在具体区间的单调性，从而指出单调区间。）③怎样用定义证明函数的单调性？（“任意取值——作差（商）变形——判断定号——得出结论”）（2）作业布置必做题：习题1.31，2，3选做题：求函数的单调区间。解：的单调递减区间是，在R上单调减，（a>0）的单调减区间是7/7
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