第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)学习目标①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1% 观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识? 二、自主探索,尝试解决记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?问题3:如何理解图象是上升的?问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?三、信息交流,揭示规律1.增函数的定义问题5:增函数的定义中,把“当x1f(x2)”,这样行吗?问题6:增函数的定义中,“当x1f(x2
)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.2.减函数定义(板书)一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.四、运用规律,解决问题【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【例2】证明:设V1,V2∈(0,+∞)且V10,V10,V2>0.∴>0,∴p1>p2.根据减函数的定义知p=在(0,+∞)上是减函数.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1
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