1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，主要学习用符号语言刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，学生对函数已经有了一个初步的了解，同时，由于上一节已经学习函数单调性的定义，学生能初步理解用数学语言抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的形成提供极大帮助.因此本节课通过函数的图象，学生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让学生有一个从具体到抽象、特殊到一般的认识过程，本节课通过设计问题串，逐步让学生用数学语言描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深入了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的整体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些实际问题.2．过程与方法通过日常生活实例，引导学生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐步渗透、培养学生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让学生体会数学与日常生活息息相关.在概念的形成过程中，培养学生从特殊到一般、从直观到抽象的思维提升过程，让学生感知数学问题求解途径与方法，享受成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的形成.高一学生的逻辑思维和抽象概括能力较弱，面对抽象的形式化定义，容易产生思维障碍.对此，本课紧紧抓住新旧知识间的内在联系，设置一系列问题，让学生充分参与定义的符号化过程，从图形语言和自然语言向数学符号语言转化，逐步突破难点.四、教学过程：（一）提出问题，引入目标背景1：
问题1：求函数的最大值.意图：从熟悉的二次函数入手，将求函数的最大值转化为研究函数图象的最高点，引导学生通过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）问题2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天之中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研究问题.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发学生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是一致的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现形式，从而有意识地培养学生以形助数解决问题的意识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深入，概念建构问题3：通过这两个问题，我们能否用数学语言给出一般函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让学生用数学语言来进行归纳表达，引导学生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，体会从特殊到一般的思想.定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有成立；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点问题不大，第（2）点容易被忽略。
若出现此种情况，教师可以引导提问：“既然对于任意的，都有成立，那么肯定也会满足：对于任意的，都有成立.那可否说也是函数的最大值呢？”类比背景（1）（2）回答，说明函数的最大值必须是一个函数值，要有自变量与之对应.）说明：函数的最大值是一个函数值，而且是所有函数值中的最大值，也就是函数值域中的最大值.一般写成“当，的最大值是.”辨析题：（1）可以将函数最大值定义中的“任意”替换成“无数”；（2）任何函数都有最大值；（3）若一个函数有最大值，则其最大值唯一；（4）若一个函数有最大值，则取到该最大值的自变量是唯一的.意图：通过对问题的回答、辨析，让学生对函数最值的概念有一个更深的认识.问题4：类比函数最大值的定义，能否给出函数最小值的定义？意图：通过类比，巩固学生对函数最大值定义的理解.定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有成立；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.说明：函数的最大（小）值是函数的整体性质，而我们之前研究的函数的单调性是对定义域的某个子集而言的，是函数的局部性质.（三）例题讲解，深化理解问题5：如何求函数的最大（小）值？例1：求函数的最大值和最小值.（预设1：图象法.学生根据图象，发现可以函数由右平移1个单位，即可看出函数的最高点，求最值.预设2：单调性.先猜函数在定义域上是增函数，再利用函数单调性证明，从而求函数的最值.预设3：换元法.令，转化为求反比例函数最值.）小结：求函数最大（小）方法：利用单调性；利用函数图象；换元法.
意图：高一阶段，利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法；同时，又一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法.让学生学会根据函数图象的单调性求最值，并在分析过程中结合函数图象，初步渗透数形结合的思想.练习：求函数的最大值和最小值.意图：对于我们不熟悉的函数，利用函数的单调性先猜后证，是求函数的最大（小）值是常用的方法.例2：已知函数，在以下条件下，请问函数是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）（4）意图：问题1，2中代表了在给定的区间上有单调递减、单调递增、有增有减三种情况.变式4是在变式1的基础上，利用二次函数的图象求最值，同时渗透分类讨论、数形结合的思想.变式3回答了前面的问题8.变式4既可以巩固变式2的成果，又对学生的能力提出更高的要求，要求学会用运动变化的眼光来思考问题，培养学生举一反三的能力.变式1：已知函数，若，函数的最小值是-5，求的取值范围.意图：逆向思维，换位思考，从不同角度理解函数的最值.变式2：已知函数，若，请问函数是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由.意图：分段函数本身渗透着分类讨论的思想方法，同时，分段函数最值问题的研究，一般借助图象研究，渗透数形结合思想.（四）源于生活，应用实际例3：菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点爆炸.如果烟花距地面的高度m与时间s之间的关系为，那么烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少(精确到1m)？说明：实例中注意自变量的取值范围.意图：将具体问题抽象为数学问题，建立数学模型，进行求解.培养学生应用数学的意识和能力，体会数学的优化思想.
（五）课堂小结、布置作业师：今天我们研究了什么知识？对于这个内容的理解，我们需要注意什么？有哪些学习方法？对于今天的学习，你还有哪些疑问？（关键词：一概念二方法三思想）意图：先给出问题，要求学生自主小结，摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己的小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高.作业布置：必做题：教材P32：5；P39：A组5；B组1,2选作题：（1）已知函数，若，请问函数是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由.（2）已知函数，若，请问函数是否存在最大（小）值？若存在，请求出相应的最值；若不存在，请说明理由.意图：作业分层处理能让不同的学生得到更好的发展.（六）板书设计函数的最大（小）值函数的最大值：（板书定义）函数的最小值：（学生类比）例题1（投影）例题2（提炼步骤，总结方法）
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