新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 导学案

第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)学习目标①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.合作学习  一、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址,新厂址的长为xm,则宽为m,所建围墙ym,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示是函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?问题4:问题1中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图所示,设点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C? 三、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?1.函数最大值的定义问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?问题7:函数最大值的几何意义是什么?问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?问题11:类比函数的最大值,请你给出函数最小值的定义及其几何意义.2.函数最小值的定义问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么? 四、运用规律,解决问题【例1】求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值.【例2】画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.【例3】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?五、变式演练,深化提高1.已知函数f(x)=x+(x>0).(1)证明当00. ∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间[2,6]上是减函数.所以,当x=2时,函数y=在区间[2,6]上取得最大值f(2)=2;当x=6时,函数y=在区间[2,6]上取得最小值f(6)=.【例2】解:函数图象如图所示.由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0)和(1,+∞)上是下降的,最高点是(-1,4)和(1,4),故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0),(1,+∞)上是减函数,最大值是4.点评:本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值:先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最小值f(b).【例3】解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图所示,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:当t=-=1.5时,函数有最大值h=≈29.即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29m.点评:本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是:①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论.注意:要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助图象,即数形结合.五、变式演练,深化提高1.解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1