1.3.1单调性与最大（小）值疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、单调性1.增函数和减函数一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.要点提示注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的，显然DI.对于给定定义域内的任意两个不同的自变量，当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时，即为增函数；符号相反时，即为减函数.若函数y=f（x）在区间D上是增函数，反映到图象上，从左至右呈上升趋势，反之，呈下降趋势.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.（2）作差变形.求f（x2）-f（x1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.（3）定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f（x2）-f（x1）的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.（4）判断.根据单调性定义作出结论.即取值——作差——变形——定号——判断.函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明f（x）在［a，b］上是递增的，就必须证明对于区间［a，b］上任意的两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可.误区警示注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取x1、x2，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可.二、函数的最大（小）值一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）；（2）存在x0∈I，使得f（x0
）=M，那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值）.对于一次函数可直接根据单调性写出最值.求二次函数在给定区间上的最值，要注意分析它的开口方向和对称轴，如课本36页例3.一般地，若给定区间在对称轴的同侧，它是单调函数，可直接利用单调性求出最值；若对称轴在给定区间内，要注意它在对称轴处取得一个最值.要点提示注意此处空半格最值包括最大值和最小值.对于二次函数而言，若给定闭区间在对称轴的同侧，则最值在区间的两个端点处；若对称轴在给定的区间内，则在对称轴处取得一最值，在距对称轴较远的端点处取得另一最值.求函数在某个闭区间的最值问题，可以先做出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值.另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解（证）不等式；还可以绘制某些函数的略图等等.问题·思路·探究问题如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集是不是还符合原来的增减性?思路:根据函数增减性的定义和并集的概念考虑,同时注意区间上的特殊点.探究:对某一函数y=f(x)，它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增（减）函数，不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增（减）函数.比如说,函数y=在(-∞,0),(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变成x1＞x2时,却有y1＞y2,不再符合减函数的定义.典题·热题·新题例1作出下列函数的图象，并指出函数的单调区间:（1）f（x）=5x+2；（2）f（x）=x2+x+2；（3）f（x）=-.思路解析：写函数的单调区间时，能画出函数图象的要画出图象，或者根据所求函数与某些已知函数的关系去判断.解：（1）函数f（x）=5x+2图象的单调增区间为（-∞，+∞）,无单调减区间.如图(1).（2）函数f（x）=x2+x+2的图象如图(2),单调递增区间为［-，+∞］,单调递减区间为（-∞，-］.（3）函数f（x）=-的图象如图(3),函数在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上也是增函数.(1)(2)(3)深化升华注意此处空半格(1)画一次函数的图象，只需描出两个点即可.(2)画二次函数的图象只需描出顶点以及关于对称轴对称的两点即可.
(3)反比例函数y=（k≠0）的单调性仅与系数k的正负有关.例2利用单调性定义证明：函数f（x）=在其定义域内是增函数.思路解析：本题是利用单调性定义证明单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明.证明：证法一：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞），任取x1、x2∈［1，+∞）且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=-=.∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴+＞0，x2-x1＞0.∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）=在定义域上是增函数.证法二：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞］，任取x1、x2∈［1，+∞)且x1＜x2，则，∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴0≤x1-1＜x2-1.∴0≤＜1.∴＜1.∵f（x2）=＞0，∴f（x1）＜f（x2）.∴函数f（x）=在定义域［1，+∞）上是增函数.深化升华注意此处空半格函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的.用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”.当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法.解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化.从形式上看是由“-”变成“+”.例3作出函数f（x）=的图象，并指出函数f（x）的单调区间.思路解析：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间.解：原函数可化为
f（x）==|x+1|+|x-1|=作出函数的图象：所以函数的递减区间是（-∞，-1］，函数的递增区间是［1，+∞）.技巧点拔注意此处空半格若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间.去绝对值的关键是令每一个绝对值等于0，找到分界点，再讨论去绝对值.例4已知函数f（x）=x2+ax+3在区间［-1，1］上的最小值m为-3，求实数a的取值.思路解析：所给二次函数的对称轴x=-是变化的，而区间是固定的，因而只需确定二次函数对称轴与区间的关系，即可求得a的范围.解：f（x）=（x+）2+3-，开口向上，区间［-1，1］确定，对称轴x=-随a变化.（1）当-＜-1，即a＞2时，作草图（Ⅰ）.f（x）在［-1，1］上是增函数，所以m=f（-1）=-3，得1-a+3=-3.所以a=7.（2）当-＞1，即a＜-2时，作草图（Ⅱ）.f（x）在［-1，1］上是减函数，m=f（1）=1+a+3=-3，所以a=-7.（3）当-1≤-≤1，即-2≤a≤2时，作草图（Ⅲ）.此时，对称轴在区间［-1，1］内，所以m=f（-）=3-=-3，得a=±2，这与-2≤a≤2矛盾，舍去.因此所求的实数a=-7或7.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）深化升华
注意此处空半格求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴在区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解.运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题.当对称轴在给定区间的左侧时，它是增函数，它的最值点在区间的两个端点处取得.当对称轴在给定区间的右侧时，它是减函数，它的最值点在区间的两个端点处取得.当对称轴在给定区间内时，在对称轴处取一个最值，在离对称轴较远处取得另一最值.二次函数在闭区间上的最值问题，只有反复的训练，才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领.例5已知函数y=f(x)在［0，+∞)上是减函数，试比较f（）与f（a2+a+1）的大小.思路解析：利用函数的单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当x1＜x2时f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当f(x1)＜f(x2)时x1＜x2.当f(x1)＞f(x2)时x1＞x2.当f(x)是减函数时类同.解：根据函数的单调性的定义，只需比较与a2-a+1的大小即可.∵a2-a+1=（a-）2+≥，∴与a2-a+1都属于［0，+∞］，又∵y=f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴f（）≥f（a2+a+1）.例6写出函数f（x）=的单调区间.思路解析：把未知的问题转化为已知的问题，用已知问题的解还原说明未知问题的解，这是学好数学的一种常用方法.解决这种分式函数问题，需掌握“凑分母”化简的方法，即把函数的分子拼凑成分母的形式，转化成只在分母中含有变量x的形式，进而解决问题.解：原函数可化为f（x）=+1，显然f（x）的图象是由y=的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的.由于y=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，所以f（x）=在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数.例7（经典回放）已知函数f（x）=，x∈［1，+∞］.（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈［1，+∞］，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.思路解析：对于（1），将f（x）变形为f（x）=x+2+=x++2，然后利用单调性求解.对于（2），运用等价转化＞0（x∈［1，+∞））恒成立，等价于x2
+2x+a＞0恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a=时，f（x）=x++2.因为f（x）在区间［1，+∞］上为增函数，所以f（x）在区间［1，+∞］上的最小值为f（1）=.（2）解法一：在区间［1，+∞］上，f（x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒成立.设y=x2+2x+a，∵（x+1）2+a-1在［1，+∞］上单调递增.∴当x=1时，ymin=3+a.于是当且仅当ymin=3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，∴a＞-3.解法二：f（x）=x++2，x∈［1，+∞］.当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；当a＜0时，函数f（x）单调递增.故当x=1时，f（x）min=3+a.于是当且仅当f（x）min=3+a＞0，函数f（x）＞0恒成立.故a＞-3.深化升华注意此处空半格单调函数在闭区间上必有最大（小）值.如果f（x）在区间D上有定义，f（x）≥0或f（x）≤0恒成立，则当且仅当f（x）min≥0〔或f（x）max≤0〕时成立.例8已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y)且f(2)=1，求使不等式f(x)+f(x-3)≤2成立的x的取值范围.思路解析：这是抽象函数单调性的应用，解题的关键在于处理好f(x·y)=f(x)+f(y)和f(x)+f(x-3)≤2这两个式子，并且要能够将f(x)+f(x-3)≤2转化成与函数的单调性有关.解：∵f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，∴x＞3且f(x·y)=f(x)+f(y),∴f(x)+f(x-3)=f(x2-3x),且x＞3，2=f(2)+f(2)=f(4).因此f(x)+f(x-3)≤2f(x2-3x)≤f(4),即3＜x≤4.所以x的取值范围是(3,4］.深化升华注意此处空半格本题是抽象函数(指没有给出具体函数解析式的函数)单调性的应用，本题解题时很容易忽视定义域的作用，即常犯的错误是不考虑x＞0且x＞3这一限制条件，另外本题的难点是将f(x)+f(x-3)≤2转化成f(x2-3x)≤f(4)，因此对于抽象函数问题，要注意掌握一些变形的技巧.
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