1.3.1函数的单调性性与最大(小)值第一课时
(1)北京市春季某一天的气温随时间变化的图象.y=f(x)Ox(时)y(℃)2468101214161820222424681012思考1:哪段时间气温是慢慢升高的?哪段时间气温是慢慢降低的?一、问题导入思考2:观察图中的温度变化曲线,将来某个春季到北京旅游你打算如何防寒保暖?
yxo(2)y=2x+1二、探索新知(一)——增函数思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者上升下降的趋势有何共同特征?考查下列两个函数:xy
end思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升,那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的变化情况如何?思考3:如图1为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象,对于该区间上任意两个自变量x1和x2,当x1x2时,都有f(x1)>f(x2),则函数f(x)在区间D上是增函数还是减函数?
探索新知(二)——减函数xyo考察下列两个函数:(2)f(x)=-2x+2xy思考1:这两个函数的图象分别是什么?它们的上升下降趋势有什么共同特征?
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.(如图2)yf(x2)f(x1)x2x10x图2y=f(x)思考3:我们把具有上述特点的函数f(x)称为减函数,那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”?思考2:如图2为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象,对于该区间上任意两个自变量x1和x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y=f(x)某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性.这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)在这一区间上是单调函数.思考2:函数y=ax2+bx+c(a≠0)在R上是单调函数吗?若不是,那么请写出一个区间,使它在该区间上是单调函数.思考1:函数y=kx+b在R上是单调函数吗?探索新知(四)——函数的单调区间
思考3:一个函数在其定义域内,就单调性而言有哪几种可能情形?思考5:一般地,若函数f(x)在区间A,B上是单调函数,那么f(x)在区间A∩B上是单调函数吗?在区间A∪B上呢?
返回例1下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.三、理论迁移-5O12345-1-2-3-4123-1-2xy
解:y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在[-5,-2),[1,3)上是减函数,在[-2,1),[3,5)上是增函数.事实证明:作图是发现函数单调性的方法之一.
用定义证明单调性是最基本的证明方法.
1.定义法:用定义证明函数在区间M上具有单调性的步骤:(1)取值:对任意x1,x2∈M,且x1<x2;(2)作差:f(x1)-f(x2);(3)判定差的正负;(4)根据判定的结果作出相应的结论.五、课堂小结二、单调区间的求法.2.图象法;3.利用已知函数的单调性;一、掌握函数单调性的证明的常见方法:
第32页练习1,2,3,4.六、作业