函数的最大(小)值与导数

函数的最大(小)值与导数 引入 oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 新课讲解 三.是利用导数.注意：求函数最值的一般方法：一.是利用函数性质.二.是利用不等式. 新课讲解 例题讲解 x-2(-2,0)0(0,3/2)3/2(3/2,3)3y’y↘↘↗练习 例2.已知函数f(x)＝x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值． 练习1.(2010年.北京)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(I)求f(x)的单调递减区间；(II)若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．解:(I)f'(x)＝－3x2＋6x＋9．令f'(x)f(－2)．因为在(－1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2,－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。于是有22＋a＝20,解得a＝－2.故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2。因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 练习 例题讲解[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，(1)当a＝1时，f′(x)＝，练习2.(2010·江西理)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值．所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)； 例题讲解(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，练习2.(2010.江西理)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值．故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a,因此a＝. xf(x)-0+f’(x)极小值 1:证明不等式:证:设则令,结合x>0得x=1.而00时,f(x)≥1恒成立,即:所以x=1是f(x)的极小值点.练习 练习 课堂小结作业：P326(1)、(4)